Extensiones del teorema de Ramsey: monocromático pero diverso.

Como seguimiento de mi pregunta anterior , que fue resuelta por Hsien-Chih Chang, aquí hay otro intento de encontrar una generalización apropiada del teorema de Ramsey. (No es necesario que lea la pregunta anterior; esta publicación es independiente).

Parámetros: se dan enteros , y luego se elige para que sea lo suficientemente grande. Terminología: un subconjunto es un subconjunto de tamaño .$1 \ll d \ll k \ll n$$N$$m$$m$

Deje . Para cada -subset , asigne un color .$B = \{1,2,...,N\}$$k$$S \subset B$$f(S) \in \{0,1\}$

Definiciones:

• $X \subset B$ es monocromática si para todos -subsets y .$f(S) = f(S')$$k$$S \subset X$$S' \subset X$
• $X \subset B$ es diverso si tal que y para todo i .$X = \{ x_1, x_2, ..., x_n \}$$x_i < x_{i+1}$$x_i\,\not\equiv x_{i+1} \text{ mod } d$$i$

Por ejemplo, si $d = 10$ , entonces $\{ 12, 15, 23, 32, 39 \}$ es diversa pero $\{ 12, 15, 25, 32, 39 \}$ no lo es. Tenga en cuenta que un subconjunto de un conjunto diverso no es necesariamente diverso.

Ahora el teorema de Ramsey dice que no importa cómo elijamos $f$ , hay un $n$ -subset X \ subset B monocromático $X \subset B$. Y obviamente es trivial encontrar un $n$ -subset X \ subset B diverso $X \subset B$.

Pregunta: ¿siempre hay un n- subconjunto X \ subconjunto B diverso y monocromático ?$n$$X \subset B$

Editar: Hsien-Chih Chang muestra que la afirmación es falsa para una prima , pero ¿qué pasa con la compuesta ? En mis aplicaciones, tendré mucha libertad para elegir los valores exactos de , siempre que pueda hacerlos arbitrariamente grandes. Pueden ser potencias de primos, productos de números primos, o lo que sea necesario para que la afirmación sea verdadera.$d$$d$$d \ll k \ll n$

Primero tengo que decir: ¡este problema es realmente interesante! Y aquí describo brevemente por qué fallaron mis enfoques anteriores , como se sugiere en esta meta publicación sobre respuestas incorrectas.

• Mi primer intento fue tratar de construir una coloración relacionada con la suma del subconjunto k que hace que todos los subconjuntos n no sean monocromáticos. Lemma 1 todavía está disponible; pero Lemma 2 estaba equivocado, al observar que si están primos relacionados, entonces un subconjunto n en el módulo d sugerido por @Jukka es un contraejemplo.$\{1,3,1,3, \ldots\}$

• El segundo intento fue una prueba del teorema; Al contar la proporción de subconjuntos diversos y monocromáticos , esperamos que el número de monocromáticos supere a los de los no diversos. Pero es un error en mis cálculos, observado por @domotorp: la proporción de ser no diverso no se acerca a cero; converge a aproximadamente , que es claramente más grande que .$n$$n/d$$R(n,n;k)^{-n}$

• El tercero vuelve al primer método, y muestra que para un conjunto de parámetros súper débiles ( y ), el teorema es falso. Utilizamos un famoso lema en combinatoria aditiva: el teorema EGZ.$n > k+d-1$$d \mid k$

El cuarto intento se debe a la respuesta de @domotorp; es a la vez inteligente e inspirador, y trataré de modificar su prueba para tratar con todos los parámetros. Pero aún así su método es elegante, y aprecio totalmente este enfoque simple.

Un conjunto n diverso contiene al menos un subconjunto k con al menos "cambia entre clases mod"; precisamente, sea un conjunto n diverso, y sea , un interruptor se define si y están en diferentes mod-d clases Tenemos k-1 interruptores para .$k-1$$X = x_1,\ldots,x_n$$S^* = x_1,\ldots,x_k$$x_i$$x_{i+1}$$S^*$

Deje que un k-subconjunto sea rojo si tiene como máximo k-2 interruptores; de lo contrario es azul . Por el párrafo anterior ya teníamos una azul, ahora demostrar que para , hay un rojo en cualquier n-set . Como , hay dos números en la misma clase mod-d y ; y como , hay al menos k-2 elementos en con o . Y podemos construir un k-subconjunto con$S$$S$$n > k+d+1$$S$$X$$n > d$$x_i,x_j$$j-i \leq d-1$$n > k+d+1$$x_k$$X$$k<i$$k>j$$S$$x_i$junto a , que solo cambia a lo sumo k-2 veces. Por lo tanto, es un subconjunto k rojo.$x_j$$S$

Podría haber entendido mal su pregunta, pero si no, creo que es falsa. Colorea los conjuntos k cuyos miembros son todos congruentes módulo d por rojo, los otros conjuntos k por azul. Si n> kd, cualquier conjunto n debe contener un conjunto k cuyos miembros sean todos módulo congruente d y, por lo tanto, sea rojo. Por otro lado, si un conjunto k contiene dos elementos consecutivos de un conjunto n diverso, entonces es azul.