Aproximadamente muestreo de poliedros convexos con computadoras cuánticas

Las computadoras cuánticas son muy buenas para distribuciones de muestreo que no sabemos cómo muestrear usando computadoras clásicas. Por ejemplo, si f es una función booleana (de a - 1 , 1 ) que se puede calcular en tiempo polinómico, entonces con computadoras cuánticas podemos muestrear eficientemente de acuerdo con la distribución descrita por la expansión de Fourier de f. (No sabemos cómo hacerlo con las computadoras clásicas).$\{-1,1\}^n$${-1,1}$

¿Podemos usar computadoras cuánticas para muestrear o muestrear aproximadamente un punto aleatorio en un poliedro descrito por un sistema de n desigualdades en d variables?

Pasar de las desigualdades a los puntos me parece algo similar a una "transformación". Además, me encantaría ver un algoritmo cuántico incluso si modifica la distribución, por ejemplo, considere el producto de la distribución gaussiana descrito por los hiperplanos del poliedro u otras cosas.

Algunas observaciones: Dyer, Frieze y Kannan encontraron un famoso algoritmo clásico de tiempo polinómico para muestrear aproximadamente y calcular aproximadamente el volumen de un poliedro. El algoritmo se basa en caminatas aleatorias y mezclas rápidas. Por lo tanto, queremos encontrar un algoritmo cuántico diferente para el mismo propósito. (Bien, podemos esperar que un algoritmo cuántico pueda conducir también a cosas en este contexto que no sabemos hacer de manera clásica. Pero para empezar, todo lo que queremos es un algoritmo diferente, esto debe ser posible).

En segundo lugar, ni siquiera insistimos en tomar muestras aproximadamente de la distribución uniforme. Estaremos encantados de probar aproximadamente alguna otra distribución agradable que se admite aproximadamente en nuestro poliedro. Hay un argumento de Santosh Vampala (y también de mí en otro contexto) que lleva del muestreo a la optimización: si desea optimizar la muestra f (x) para encontrar un punto y donde f (x) es típico. Agregue la restricción {f (x)> = f (y)} y repita.

Como reconoce la publicación, la existencia de un algoritmo clásico de tiempo polinómico para estimar el volumen de un politopo convexo es un cambio de juego. Es mucho menos probable que un algoritmo cuántico sea interesante a menos que sea competitivo con los algoritmos clásicos. Después de todo, sin ese criterio, cualquier algoritmo clásico podría simplemente llamarse algoritmo cuántico.

Dicho esto, todavía hay espacio para una aceleración polinómica, y el principal punto de vista conocido para ese tipo de aceleración es una caminata cuántica, especialmente teniendo en cuenta que la aceleración clásica en este caso se basa en una buena caminata aleatoria. (De hecho, cualquier algoritmo cuántico puede verse como una caminata cuántica, pero para algunos algoritmos esto no es necesariamente esclarecedor). Varios artículos en la literatura de control de calidad han señalado que los algoritmos para estimar el volumen de un politopo convexo usan caminatas aleatorias, y que podría haber una aceleración de una caminata cuántica. Por lo tanto, parece que los investigadores conocen esta sugerencia, pero que nadie ha tratado de determinar qué aceleración polinómica puede obtener para este problema. Es posible que no obtenga nada si el mejor algoritmo clásico tiene algún tipo de spoiler,

Aquí hay una colección de documentos que mencionan la idea básica de pasada; nuevamente, Google Scholar parece sugerir que nadie ha ido más lejos.

1. arXiv: quant-ph / 0104137 - Paseos cuánticos en el hipercubo
2. arXiv: quant-ph / 0205083 - Las caminatas aleatorias cuánticas golpean exponencialmente más rápido
3. arXiv: quant-ph / 0301182 - Decoherencia en caminatas cuánticas discretas
4. arXiv: quant-ph / 0304204 - Control de caminatas cuánticas discretas: monedas y estados iniciales
5. arXiv: quant-ph / 0411065 - Caminata cuántica en una línea con dos partículas enredadas
6. arXiv: quant-ph / 0504042 - Enredado en caminatas cuánticas acuñadas en gráficos regulares
7. arXiv: quant-ph / 0609204 - Aceleración cuántica de procesos de mezcla clásicos
8. arXiv: 0804.4259 - Aceleración mediante muestreo cuántico
9. Un enfoque de caminata aleatoria para algoritmos cuánticos
10. Paseo cuántico discreto para resolver ecuaciones no lineales sobre campos finitos

El otro lado de los algoritmos clásicos para estimar el volumen de un politopo convexo es la programación lineal. No sé si ha habido algún progreso para encontrar una aceleración cuántica para eso. Parece difícil evitar una etapa de programación lineal para colocar el politopo convexo en una posición favorable para el muestreo.