Límite inferior en el número de caminos "cortos" en un árbol enraizado con tamaño polinómico

Deje que sea ​​un árbol binario enraizado. Cada camino desde la raíz de hasta una hoja tiene una longitud . Cada nodo de siempre tiene un nodo hijo izquierdo y uno derecho, pero es posible que sean iguales (por lo que siempre hay rutas posibles). El tamaño de está limitado por . Un nodo con diferentes nodos secundarios se llama nodo de ramificación .$T$$T$$n$$T$$2^n$$T$$O(poly(n))$

Decimos que dos rutas son diferentes si hay un nodo de ramificación compartido y una ruta va al nodo hijo izquierdo y la otra ruta va al nodo hijo derecho. Está claro que hay al menos una ruta en con nodos de ramificación. De lo contrario no habría demasiados nodos en .$T$$O(\log n)$$T$

¿Hay un límite inferior mejor en el número de rutas con nodos de ramificación si sé que hay nodos de ramificación en el árbol?$O(\log n)$$\omega(\log n)$

El límite inferior es rutas con nodos de ramificación , si tiene al menos nodos de ramificación en el árbol.O ( log n ) Ω ( log n $\Omega(\log n)$$O(\log n)$$\Omega(\log n)$

Esto se puede lograr: use un árbol que tenga una ruta larga (longitud ) cuyos nodos sean nodos de ramificación, sin otros nodos de ramificación en el árbol.$n$

Aquí hay un bosquejo del límite inferior.

Primero, compacte el árbol contrayendo cualquier nodo interior que no sea un nodo de ramificación. Si el tamaño original del árbol era , el nuevo árbol aún debe ser , ya que solo ha reducido el número de nodos. Ahora, la profundidad de una hoja es el número de nodos ramificados en la ruta original a esa hoja, y tenemos un árbol binario completo (cada nodo tiene un grado 2 o 0). < n $< n^c$$< n^c$

Si no hay hojas de profundidad , entonces el número de caminos es uno más que el número de nodos de ramificación, que es , por lo que podemos suponer que al menos una hoja tiene profundidad .Ω ( log n ) Ω ( log n $\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$$\Omega(\log n)$

A continuación, recuerde la desigualdad de Kraft. Si la profundidad de una hoja en un árbol binario completo es , entonces .Σ v l e a f 2 - d ( v ) = $d(v)$$\Sigma_{v \mathrm{\ leaf}} 2^{-d(v)} = 1$

Ahora, tenemos menos de hojas. Queremos mostrar que tenemos muchos de ellos en profundidad . Supongamos que eliminamos de la consideración los que son de profundidad al menos . Esto elimina como máximo de la suma en la desigualdad de Kraft, por lo que para esas hojas en profundidad como máximo , tenemos . También tenemos (ya que al menos una hoja tiene una profundidad demasiado grande para ser incluida en esta suma).$n^c$$O(\log n)$$\log_2(n^{c+1}) = (c+1) \log_2 n$$1/n$$v$$d(v)\leq (c+1) \log_2 n$ ∑vlowdepthleaf2-d(v)<$\sum_{v\mathrm{\ low \ depth \ leaf}} 2^{-d(v)} > 1-\frac{1}{n}$$\sum_{v\mathrm{\ low\ depth\ leaf}} 2^{-d(v)} < 1$

Es bastante fácil demostrar que para obtener una suma de números estrictamente entre y , necesitamos al menos de ellos. Esto muestra que hay rutas con nodos de ramificación . 1 1 - $2^{-k}$$1$ log2nΩ(logn)O(logn$1-\frac{1}{n}$$\log_2 n$$\Omega(\log n)$$O(\log n)$