Encontrar un ciclo 5 en un gráfico disperso de manera eficiente.

(cruzado desde MathOverflow)

Hola,

Estaba leyendo este hilo: /mathpro/16393/finding-a-cycle-of-fixed-length

Quiero encontrar un ciclo 5 en un gráfico. En realidad, lo que realmente quiero es un ciclo impar más corto de longitud de al menos 5, pero tal vez eso sea un poco irrelevante. Para mis propósitos, trato y el mismo en el análisis de complejidad. $m$ $n$

¿Podemos hacerlo mejor que la codificación de colores para encontrar un ciclo 5 en este caso? Permítanme dar una formulación específica de mi pregunta:

¿Cuál es el mínimo para que haya un algoritmo de tiempo para detectar un ciclo de longitud 5? ¿Qué es el algoritmo? ¿Y qué es este si prohíbe métodos poco prácticos como la multiplicación rápida de matriz de Coppersmith-Winograd? $\alpha$ $O(m^\alpha)$ $\alpha$

— Andrew D. King
fuente

Crosspost de MO.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

¿Sus gráficos tienen alguna estructura especial, además de ser dispersos? (Como la baja degeneración, por ejemplo.)

— Robin Kothari

No, puedes hacer que el gráfico sea tan diabólico como quieras. En realidad, ni siquiera me importa si el gráfico es escaso: estoy considerando un gráfico lineal y su gráfico subyacente modo que (podemos suponer que es simple). La razón por la que tratoylo mismo es que séy quiero analizar la complejidad en términos dey, pero no puedo decir nada sobre cómose compara con.

G

$G$

H

$H$

G = L (H)

$G=L(H)$

H

$H$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

| E (H) | = | V (G) |

$|E(H)|=|V(G)|$

| V (G) |

$|V(G)|$

| E (G) |

$|E(G)|$

| E (H) |

$|E(H)|$

| V (H) |

$|V(H)|$

— Andrew D. King

Para ser claros, no te importa si el ciclo contiene vértices repetidos, ¿correcto?

— user834

No permito vértices repetidos, pero para un ciclo de 5 no importa porque supongo que el gráfico es simple y, por lo tanto, no tiene ciclos de 2.

— Andrew D. King

Respuestas:

Para agregar a la respuesta de Mihai:

De hecho, 5 ciclos (y en general $k$ ciclo ) en gráficos dispersos se puede resolver mucho más rápido que el tiempo utilizando el truco de alto grado / bajo grado. Solo necesita mirar otro papel de Alon, Yuster y Zwick: $O(mn)$

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.101.4120

Por ejemplo, se puede encontrar un ciclo de 5 en el tiempo , sin ninguna dependencia de la multiplicación de matrices. Consulte el Teorema 3.4 del documento vinculado anterior. $O(m^{1.67})$

Además, aunque no es demasiado difícil reducir la detección de 5 ciclos a la multiplicación de matriz booleana (con una sobrecarga de factor constante), una reducción en la dirección opuesta no aparece en el papel de codificación de color. No se conoce una reducción ajustada (que preserva la complejidad del tiempo de ejecución) de la multiplicación de matriz booleana a la detección de 5 ciclos.

— Ryan Williams
fuente

El caso denso es esencialmente equivalente a la multiplicación de matriz booleana por codificación de color. Ver http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.5167&rep=rep1&type=pdf .

$O(mn)$

— Mihai
fuente

¡Gracias! Echaré un vistazo al documento de Monien cuando pueda acceder a él.

— Andrew D. King,