Agregue una coincidencia a un camino hamiltoniano para reducir la distancia máxima entre pares de vértices dados

¿Cuál es la complejidad del siguiente problema?

Entrada :

$H$ un camino hamiltoniano en $K_n$
$R \subseteq [n]^2$ un subconjunto de pares de vértices
un entero positivo $k$

Consulta : ¿hay una coincidente tal que para cada , ? (donde ) $M$ $(v,u) \in R$ $d_G(v,u) \leq k$
$G = ([n], M\cup H)$

He estado discutiendo con un amigo sobre este problema. Mi amigo piensa que el problema está en el tiempo polinómico. Creo que es NP-completo.

— pfim
fuente

Puede simplificar esto aún más, al menos en términos de presentación. Te dan

, un camino con

vértices y una colección

de pares de estos vértices. Desea aumentar la ruta con una coincidencia para que la distancia entre cualquier par en

sea como máximo

k

$k$

n

$n$

R

$R$

R

$R$

k

$k$

— Sasho Nikolov

Creo que esta formulación puede ser confusa después de mi última edición para eliminar cierta ambigüedad.

— pfim

Mi interpretación es correcta, ¿no es así?

— Sasho Nikolov

Hice una edición para hacer la declaración del problema más rigurosa. Creo que esto se puede simplificar aún más, ya que simplemente puede suponer que H es el camino hamiltoniano 1-2-3-4-5 ...- n sin pérdida de generalidad. Entonces solo necesitas

n

$n$

— Kaveh

Respuestas:

Esta respuesta es incorrecta .

Tu amigo tiene razón. Su problema (tal como lo interpreta Sasho) no impone ninguna restricción a la cardinalidad de la coincidente . Por lo tanto, elegir ser un juego entre los pares en . Entonces, para cualquier entero positivo , la distancia entre cada par en es menor que . $C$ $C$ $R$ $k$ $R$ $k$

Su problema se vuelve interesante si se fuerza caminos para tener bordes tanto de la coincidencia de y la trayectoria . $C$ $P$

— Mohammad Al-Turkistany
fuente

¿Qué quieres decir con "emparejamiento entre los pares en

R

$R$

— Emil Jeřábek apoya a Monica el

@ EmilJeřábek Significa conectar los nodos de cada par en

por un borde. Entonces

es solo

con un borde que conecta cada par. Esto es equivalente a aumentar la trayectoria

con una marcha perfecta en los pares de

R

$R$

C

$C$

R

$R$

P

$P$

R

$R$

— Mohammad Al-Turkistany

Eso no parece tener mucho sentido para mí. ¿Qué pasa si

no es una coincidencia? Digamos, si

contiene los pares

, ¿cómo eliges

R

$R$

R

$R$

(1, 2)

$(1,2)$

(1, 3)

$(1,3)$

C

$C$

— Emil Jeřábek apoya a Monica el

@ EmilJeřábek Sí. Tu punto es válido. Editaré mi respuesta.

— Mohammad Al-Turkistany

@pfim ¿Se puede formar la ruta más corta utilizando solo bordes de

C

$C$

— Mohammad Al-Turkistany

ACTUALIZACIÓN: la respuesta a continuación no es correcta, porque supuse erróneamente que la ruta hamiltoniana está en un gráfico arbitrario, no en . Lo dejo sin borrar, tal vez pueda arreglarlo o dará algunas pistas para otra respuesta. $K_n$

Creo que es NP-completo. Esta es una idea de reducción muy informal / rápida de 3SAT

Para todas las variables añadir un "artilugio variable" con: $x_i$

tres nodos $X_i, +X_i, -X_i$
dos aristas variables y $(X_i,+X_i)$ $(X_i,-X_i)$

Agregue un nodo de origen y conéctelo a todas las variables . $S$ $X_i$

Para cada cláusula agregue un nodo y conéctelo a las variables correspondientes o que forman la cláusula. $C_j$ $C_j$ $+X_i$ $-X_i$

La siguiente imagen representa: $(+x_1 \lor -x_2 \lor -x_3) \land (-x_2 \lor x_3 \lor x_4)$

El conjunto (nodos que deben ser vinculados) contiene $R$ $(S, C_1), (S,C_2), ...$

La ruta simple debe incluir todos los bordes "AZUL" excepto los bordes variables y (en la imagen de arriba los bordes azules representan los bordes que incluimos en ). $P$ $(X_i, +X_i)$ $(X_i, -X_i)$ $P$

En este punto, la fórmula inicial es satisfactoria si y solo si la ruta más corta desde hasta cada nodo de la cláusula no es mayor que tres. De hecho, para alcanzar una cláusula desde en tres pasos, debemos atravesar al menos una variable : . Por lo tanto, debemos atravesar uno de los dos bordes: o e incluirlo en $S$ $C_j$ $S$ $X_i$ $S \to X_i \to \pm X_i \to C_j$ $X_i \to +X_i$ $X_i \to -X_i)$ $C$ (porque por construcción no es parte de ). Pero no se pueden incluir ambos, porque comparten un vértice. $P$

Pero no estamos seguros de poder construir una ruta simple que incluya todos los bordes azules porque algunos nodos tienen más de un borde azul incidente. $P$

Para solucionar esto, reemplazamos cada nodo con múltiples bordes azules incidentes, con un árbol que contiene solo pares de bordes azules incidentes que se incluirán en y bordes que los separan y que deberían incluirse en para llegar a los nodos de la cláusula: $P$ $C$

El gráfico original se convierte en:

$K$ $C_j$ $S$

$C$

$P$

— Marzio De Biasi
fuente

Intentar construir una ruta que contenga todos los bordes azules me preocupa: algunos vértices tienen más de 2 bordes azules incidentes sobre ellos, por lo que no puede haber una ruta simple que incluya todos los bordes azules.

— Mikhail Rudoy

Ok, gracias ... Olvidé por completo lo que es un camino simple :-( ... ahora debería solucionarse.

— Marzio De Biasi

Esta publicación sobre matemáticas. SE sugiere que el problema puede no ser NP-completo. Podría ser intratable pero tienen solución en el tiempo quasipolynomial math.stackexchange.com/questions/2218929/...

— Mohammad Al-Turkistany

@ MohammadAl-Turkistany: ¿ves una falla en la versión actual de la respuesta?

— Marzio De Biasi

No, no veo ningún defecto obvio.

— Mohammad Al-Turkistany