¿La inconfundibilidad de la complejidad de Kolmogorov se deriva del teorema del punto fijo de Lawvere?

Muchos teoremas y "paradojas": la diagonalización de Cantor, la indecidibilidad de la incubación, la indecisión de la complejidad de Kolmogorov, la incompletitud de Gödel, la incompletitud de Chaitin, la paradoja de Russell, etc., tienen esencialmente la misma prueba por diagonalización (tenga en cuenta que esto es más específico de lo que pueden todo se demuestra mediante la diagonalización; más bien, se siente que todos estos teoremas realmente usan la misma diagonalización; para más detalles ver, por ejemplo , Yanofsky , o para una explicación mucho más breve y menos formalizada, mi respuesta a esta pregunta ).

En un comentario sobre la pregunta mencionada anteriormente, Sasho Nikolov señaló que la mayoría de ellos eran casos especiales del Teorema del Punto Fijo de Lawvere . Si se tratara de casos especiales, esta sería una buena manera de capturar la idea anterior: realmente habría un resultado con una prueba (la de Lawvere) de la cual todo lo anterior siguió como corolarios directos.

Ahora, para Gödel Incompletez e indecidibilidad del problema de detención y sus amigos, es bien sabido que siguen el Teorema del Punto Fijo de Lawvere (ver, por ejemplo, aquí , aquí o Yanofsky ). Pero no veo de inmediato cómo hacer eso por la indecidibilidad de la complejidad de Kolmogorov, a pesar de que la prueba subyacente es de alguna manera "la misma". Entonces:

¿Es la indecidibilidad de la complejidad de Kolmogorov un corolario rápido, que no requiere diagonalización adicional, del teorema del punto fijo de Lawvere?

— Joshua Grochow
fuente

Debo decir que todo lo que sabía sobre este tema lo aprendí de esta publicación de blog de Andrej Bauer: math.andrej.com/2007/04/08/on-a-proof-of-cantors-theorem

— Sasho Nikolov

@MaxNew: Let sea una función computable, calculada por algunos TM . Deje que sea la siguiente TM: en la entrada vacía, comienza a recorrer las cadenas de una en una hasta que encuentra una con y salida . Tenga en cuenta que para algunos dependiendo solo de. Entonces para cualquier tal que(cualquier suficientemente grande servirá), o no existe tal (en cuyo caso ) o genera alguna

f

$f$

M

$M$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

x

$x$

| M_{k} | \leq \log_{2} (k) + c

$|M_k| \leq \log_2(k) + c$

c

$c$

| M |

$|M|$

k

$k$

k > | M_{k} |

$k > |M_k|$

k

$k$

x

$x$

f \neq C

$f \neq C$

M_{k}

$M_k$

x

$x$ tal que (por construcción), pero el hecho de que produzca implica que , entonces .

f (x) \geq | x | > k

$f(x) \geq |x| > k$

M_{k}

$M_k$

x

$x$

C (x) \leq | M_{k} | < k

$C(x) \leq |M_k| < k$

f (x) \neq C (x)

$f(x) \neq C(x)$

— Joshua Grochow

@NealYoung: Similar, pero esos no responden mi pregunta. Reducir el problema de la detención es tomar HALT como la "fuente" de indisputabilidad y luego usar reducciones. Pero (por ejemplo) la prueba que proporcioné en los comentarios anteriores muestra que también puede tomar la complejidad K como la "fuente de indisputabilidad", pero con una prueba muy similar a la de HALT. ¿Se puede demostrar que una prueba similar es la misma en algún sentido técnico? (En este caso, al mostrar que todas son instancias del Teorema de Lawvere, que me parece más fuerte que muchos tipos de reducción). Eso es lo que realmente busco.

— Joshua Grochow el

@NealYoung: Sí, generaliza el teorema del punto fijo de Roger. Pero si solo piensas en él como el Teorema de Roger, te perderás el punto; el punto es que Lawvere's es lo suficientemente general como para capturar la estrategia de prueba de muchas pruebas diferentes, más allá de eso en Roger's. El artículo de Yonofsky vinculado a la pregunta pretende ser una exposición "sin categoría" del Teorema de Lawvere, amigable con las personas para quienes la teoría de la categoría de Lawvere podría ser intimidante.

— Joshua Grochow el

Ver también cstheory.stackexchange.com/a/2830

— András Salamon el

EDITAR: Agregar la advertencia de que el teorema de punto fijo de Roger puede no ser un caso especial de Lawvere.

Aquí hay una prueba que puede estar "cerca" ... Utiliza el teorema de punto fijo de Roger en lugar del teorema de Lawvere. (Consulte la sección de comentarios a continuación para obtener más información).

Deje ser la complejidad de Kolmogorov de la cadena . $K(x)$ $x$

lema . no es computable $K$ .

Prueba .

Supongamos por contradicción que es computable. $K$
Defina como la longitud mínima de codificación de cualquier máquina de Turing con . $K'(x)$ $M$ $L(M) = \{x\}$
Existe una constante tal que para todas las cadenas . $c$ $|K(x) - K'(x)|\le c$ $x$
Función Definir tal que donde tal que es la cadena mínimo tal que . $f$ $f(\langle M \rangle) = \langle M' \rangle$ $L(M') = \{x\}$ $x$ $K(x) > |\langle M\rangle| + c$
Como es computable, también lo es . $K$ $f$
Por el teorema del punto fijo de Roger , tiene un punto fijo, es decir, existe una máquina de Turing tal que donde . $f$ $M_0$ $L(M_0) = L(M_0')$ $\langle M_0' \rangle = f(\langle M_0\rangle)$
Según la definición de en la línea 4, tenemos tal que . $f$ $L(M_0) = \{x\}$ $K(x) > |\langle M_0\rangle| + c$
Las líneas 3 y 7 implican . $K'(x) > |\langle M_0\rangle|$
Pero por la definición de en la línea 2, , contradiciendo la línea 8. $K'$ $K'(x) \le |\langle M_0 \rangle|$

— Neal Young
fuente

Hasta donde sé, el teorema de punto fijo de Roger no es una instancia del teorema de punto fijo de Lawvere. Sin embargo, es una variante, porque en el topos efectivo se lee de la siguiente manera: si

es una sobreposición de valores múltiples, entonces

tiene la propiedad de punto fijo. (El teorema de Lawvere en los topos efectivos es: si

es una sobreposición, entonces

tiene la propiedad de punto fijo.)

f : N ⇉ A^{N}

$f : \mathbb{N} \rightrightarrows A^\mathbb{N}$

A

$A$

f : B \to A^{B}

$f : B \to A^B$

A

$A$

— Andrej Bauer el

Por encima de mi calificación salarial, @AndrejBauer: no sé la teoría de categorías. Intenté leer esto y tu respuesta aquí . Aún no lo entiendo. ¿Puede decirme, en su comentario anterior, para el teorema de Rogers, qué toma para la función

(con el tipo

) y qué es

? ¿O tal vez sugiera un tutorial apropiado?

f

$f$

f : N \vec{\to} A^{N}

$f:\mathbb{N}\overrightarrow{\rightarrow} A^{\mathbb{N}}$

A

$A$

— Neal Young

Diapositivas 45 y 46 en math.andrej.com/wp-content/uploads/2007/05/syncomp-mfps23.pdf (la buena noticia es que ahora tengo un plan definido y una fecha límite para escribir un extenso documento sobre computabilidad sintética )

— Andrej Bauer