¿Hay clases de gráficos interesantes donde el ancho del árbol es difícil (fácil) de calcular?

Treewith es un parámetro gráfico importante que indica qué tan cerca está un gráfico de ser un árbol (aunque no en un sentido topológico estricto).

Es bien sabido que calcular el ancho de árbol es NP-hard.

¿Hay clases naturales de gráficos donde el ancho del árbol es difícil de calcular?

Similar:

¿Hay clases de gráficos interesantes donde el cálculo del ancho de árbol es fácil? En caso afirmativo, ¿hay alguna propiedad / prueba estructural que pueda explotarse? Es decir, el Gráfico tiene la propiedad calculando el ancho de árbol de . $G$ $X$ $\Rightarrow$ $G \in \mathbf{P}$

— PsySp
fuente

Para las clases de gráficos donde el ancho de árbol está acotado o no, puede ver graphclasses.org; busque el parámetro treewidth y obtendrá una lista de las duraciones del gráfico donde el ancho del árbol está acotado (o no acotado): graphclasses.org/classes/par_10.html

— Cyriac Antony

También podría usar su aplicación Java para ver las clases donde la descomposición del ancho de árbol es difícil (o fácil)

— Cyriac Antony

Treewidth es NP-difícil de calcular en gráficos co-bipartitos, de hecho, la prueba de dureza NP original del ancho de árbol de Arnborg et al. muestra esto Además, Bodlaender y Thilikos demostraron que es NP-difícil calcular el ancho de árbol de los gráficos de grado máximo . Finalmente, para cualquier gráfico de ancho de árbol de al menos , subdividir un borde (es decir, reemplazar el borde por un vértice de grado adyacente a los dos extremos del borde) no cambia el ancho de árbol del gráfico. Por lo tanto, es NP-difícil calcular el ancho de árbol de gráficos bipartitos de 2 degenerados de circunferencia arbitrariamente grande. $9$ $2$ $2$

El problema es el tiempo polinómico que se puede resolver en gráficos cordales, gráficos de permutación y, más generalmente, en todas las clases de gráficos con un número polinómico de camarillas máximas potenciales, consulte este documento de Bouchitte y Todinca. Tenga en cuenta que en el mismo documento se muestra que el conjunto de posibles camarillas máximas de un gráfico se puede calcular a partir de en el tiempo tiene un ancho de árbol como máximo en el tiempo $\Pi(G)$ $G$ $G$ . Además,el algoritmo de Bodlaenderdetermina si $O(|\Pi(G)|^2 \cdot n^{O(1)})$ $G$ $k$ . Por lo tanto, treewidth es resoluble tiempo polinómico para gráficos de treewidth. $2^{O(k^3)}n$ $O((\log n)^{1/3})$

Es un problema abierto sobresaliente si calcular el ancho de árbol de los gráficos planos es polinomial solucionable en tiempo o NP completo. Vale la pena señalar que el ancho de rama del parámetro gráfico correspondiente (que siempre está dentro de un factor de 1.5 del ancho del árbol) es un tiempo polinómico computable en gráficos planos.

— daniello
fuente

Gracias. Entonces, ¿la única clase que se sabe que es difícil son los gráficos co-bipartitos? La propiedad de las posibles camarillas máximas no me parece sorprendente. ¿Es esta propiedad P-time comprobable?

— PsySp

3^{n / 3}

$3^{n/3}$

Bodlaender y Thilikos [DAM 79 (1997) 45-61] mostraron que calcular el ancho del árbol es NP-duro para gráficos de grado máximo 9.

— Yota Otachi

Además de la dureza de los gráficos co-bipartitos, también debe mencionarse que calcular el ancho del árbol también es difícil para los gráficos bipartitos, que observaron por primera vez, creo, Ton Kloks en su tesis doctoral.

— vb le

Puede mencionar que (casi) no se sabe nada sobre su complejidad de aproximación y límites inferiores parametrizados. En principio, puede haber PTAS o algoritmo de tiempo subexponencial, aunque ambos muy poco probable. La única dureza de aproximación es una basada en la expansión de conjunto pequeño (SSE). doi: 10.1613 / jair.4030.

— Yixin Cao