¿Reducciones entre idiomas de diferentes densidades?

La densidad de un lenguaje es una función definida como Supongamos que y son lenguajes más de algún alfabeto finito, muchos-uno logspace reduce a , y no está en $X$ $d_X \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

d_{X} (n) = | {x \in X ∣ | x | \leq n} | .

$d_X(n) = |\{x\in X \mid |x| \le n\}|.$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

B

$B$

L = DSPACE (\log n)

$\textsf{L} = \text{DSPACE}(\log n)$ . Funciones

se polinomialmente relacionadas si hay polinomios

tal que para todo

f, g : N \to N

$f,g \colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

p

$p$

q

$q$

n \in N

$n\in \mathbb{N}$

f (n) \leq p (g (n))

$f(n) \le p(g(n))$

g (n) \leq q (f (n))

$g(n) \le q(f(n))$

Si la densidad de no está polinómicamente relacionada con la densidad de , ¿puede haber una reducción del espacio logarítmico de a ? $A$ $B$ $B$ $A$

Antecedentes

Espero que la respuesta sea no, pero actualmente no puedo mostrar esto.

Claramente, si está en , entonces no hay reducción logspace de a . Entonces, hay algunos ejemplos para los cuales es posible proporcionar una respuesta negativa definitiva. $A$ $\mathsf{L}$ $B$ $A$

Primero tuve en cuenta el caso en el que es un lenguaje difícil, y se obtiene haciendo agujeros en tomando , para un lenguaje de separación que contiene todas las palabras de longitud para algún conjunto (ver Schmidt 1985 y también Regan y Vollmer 1997 ). Esto garantiza una reducción insignificante de a . Los lenguajes de brecha generalmente tienen brechas exponencialmente crecientes entre los intervalos de tamaños en $B$ $A$ $B$ $A = B\cap G$ $G$ $n \in S_G$ $S_G \subseteq \mathbb{N}$ $A$ $B$ $G$ . Esto asegura que las densidades de y no estén polinómicamente relacionadas. Sin embargo, no hay garantía de que los agujeros de soplado en un idioma siempre da lugar a un lenguaje que tiene muy poca estructura a ser el objetivo de una reducción de . (El términosoplando agujeroses deDowney y Fortnow 2003). La diferencia en las densidades podría ser suficiente para garantizar esto, pero no veo de inmediato cómo. $S_G$ $A$ $B$ $B$

Otro ejemplo es cuando es una mezcla de un lenguaje duro y . Primero crea un lenguaje alegre $B$ $A$ $A\not\in\mathsf{L}$ por la intersección de algún lenguaje con un lenguaje brecha . continuación, sólo contienen los casos de tamaños que se encuentran en los intervalos de la gama de tamaños de determinación de la lengua brecha. Ahora cree mezclando con un lenguaje duro en las lagunas, tomando la unión de y la intersección de con el complemento del . Si $C \not\in \textsf{L}$ $G$ $A$ $S_G$ $B$ $A$ $D$ $A$ $D$ $G$ $D$ es bastante difícil en comparación con , tales como siendo -Hard mientras que , a continuación, por la jerarquía espacio teorema no puede haber ninguna reducción logspace de a . Parece entonces posible extender esto para mostrar que no hay una reducción logspace de a . $C$ $D$ $\textsf{2EXPSPACE}$ $C \in \textsf{PSPACE} \setminus \textsf{L}$ $D$ $A$ $B$ $A$

Esto todavía deja la situación donde es más difícil que $D$ $C$ $D$ $C$ $D$ $C$ $\mathsf{L} \ne \mathsf{NP}$ $\mathsf{NP} \ne \mathsf{PSPACE}$

cc.complexity-theory reductions structural-complexity

— András Salamon
fuente

A

$A$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

B

$B$

n - 1

$n-1$

Creo que el comentario de daniello responde a la pregunta. En general, las reducciones de muchos le dicen muy poco sobre la densidad, incluso si tiene reducciones de muchos en ambas direcciones. 1-1 reducciones y 1-1 reducciones en ambas direcciones (o incluso p-isomorfismos más fuertes) dan relaciones entre la densidad (a saber, la conjetura del isomorfismo de Berman-Hartmanis que motiva el teorema de Mahaney; de hecho, creo que el isomorfismo de BH puede haber sido el motivación principal para mirar la densidad en absoluto en primer lugar ...)

— Joshua Grochow

$A$ $L$ $A$ $2^{o(n)}$

B = {s \circ 1 | s \in {0, 1}^{*}} \cup {s \circ 0 | s \in A} .

$B = \{s \circ 1 | s \in \{0,1\}^*\} \cup \{s \circ 0 | s \in A\}.$

\circ

$\circ$

B

$B$

Ω (2^{n})

$\Omega(2^n)$

2^{o (n)}

$2^{o(n)}$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

0

$0$

B

$B$

A

$A$

1

$1$

0

$0$

B \notin L

$B \notin L$

— daniello
fuente

B \notin L

$B \not\in \textsf{L}$

A

$A$

A

$A$

@ András Salamon, gracias por señalarlo, editó la respuesta para capturar el comentario.

— daniello