¿Por qué los naturales en lugar de los enteros?

Me interesa saber por qué los autores de libros sobre teoría de los lenguajes de programación y teoría de los tipos adoran los números naturales (por ejemplo, J. Mitchell, Fundamentos para los lenguajes de programación y B. Pierce, Tipos y lenguajes de programación). La descripción del cálculo lambda de tipo simple y, en particular, el lenguaje de programación PCF generalmente se basan en Nat's y Bool's. Para las personas que usan y enseñan PL industriales de uso general, es mucho más natural tratar enteros en lugar de naturales. ¿Puedes mencionar algunas buenas razones por las cuales los teóricos de PL prefieren los nat? Además de eso, es un poco menos complicado. ¿Hay alguna razón fundamental o es solo un honor a la tradición?

UPD Para todos esos comentarios sobre la "fundamentalidad" de los naturales: soy bastante consciente de todas esas cosas geniales, pero prefiero ver un ejemplo cuando es realmente vital tener esas propiedades en la teoría de tipos de la teoría de PL. Por ejemplo, la inducción ampliamente mencionada. Cuando tenemos algún tipo de lógica (que simplemente escribe LC es), como la lógica básica de primer orden, realmente utilizamos la inducción, pero la inducción en el árbol de derivación (que también tenemos en lambda).

Mi pregunta básicamente proviene de personas de la industria, que quieren obtener una teoría fundamental de los lenguajes de programación. Solían tener enteros en sus programas y sin argumentos y aplicaciones concretas a la teoría que se estaba estudiando (teoría de tipos en nuestro caso) por qué estudiar idiomas solo con nat, se sienten bastante decepcionados.

Respuesta corta: los naturales son los ordinales de primer límite. Por lo tanto, juegan un papel central en la teoría de conjuntos axiomáticos (por ejemplo, el axioma del infinito es la afirmación de que existen) y la lógica, y los teóricos de PL tienden a compartir preocupaciones fundamentales con los lógicos. Queremos tener acceso al principio de inducción para probar la corrección total, la terminación y propiedades similares, y los productos naturales son una (er) elección natural de buen orden.

Sin embargo, no quiero implicar que los enteros binarios de ancho finito sean objetos menos interesantes. Son representaciones de los p-adics y nos permiten usar métodos de series de potencia en teoría de números y combinatoria. Esto significa que su importancia se hace más visible en algoritmos que PL, ya que es cuando comenzamos a preocuparnos más por la complejidad que por la terminación.

Los naturales son un concepto mucho más fundamental que los enteros.

La inducción ocurre sobre los naturales y los enteros pueden derivarse de los naturales con la simple adición de un operador inverso unario.

Realmente me gustaría hacer la pregunta inversa: ¿por qué los primeros diseñadores de lenguaje de programación (y máquina de registro) consagraron los enteros como el tipo de datos básico cuando son tan secundarios y se derivan tan fácilmente de los naturales?

Sospecho que es solo porque había algunas codificaciones binarias geniales que podían manejar enteros con elegancia. ;-)

Piense con qué frecuencia desea ignorar el rango negativo de un entero programático y considere el impulso de tener un tipo entero sin signo para recuperar el bit perdido.

$\mathbb{N}$$\mathbb{Z}$

$\mathbb{N}$$\leq$$\mathbb{Z}$

Otra razón (relacionada con las que ya se dieron, pero esta respuesta agrega nueva información) es que hay una construcción muy simple y sin cocientes de los naturales, que viene junto con un buen principio de inducción [como ya se ha dicho] . Lo que no se ha ampliado es lo difícil que es llegar a una construcción de enteros sin cocientes.

Cuanto más programación hago donde quiero mayor seguridad, más necesito los naturales, y encuentro que tener solo los enteros predefinidos para mí es un verdadero dolor.

¿Hay alguna buena razón por la cual los teóricos de PL prefieren los naturales en lugar de los enteros? Hay algunos, pero en un libro de texto sobre semántica del lenguaje de programación, creo que no hay una razón técnica por la que lo necesiten. No puedo pensar en otro lugar que no sean los sistemas de tipo dependiente, donde la inducción de datos es importante en la teoría PL. Otros libros de texto de Mike Gordon , David Schmidt , Bob Tennent y John Reynolds no lo hacen. (¡Y esos libros probablemente serían mucho más adecuados para enseñar a las personas que se preocupan por los PL industriales de uso general!)

Así que, ahí, se tiene la prueba de que es no es necesario. De hecho, afirmaría que un buen libro de texto de teoría PL debería ser paramétrico en los tipos primitivos del lenguaje de programación, y es engañoso sugerir lo contrario.

Los productos naturales y los bools y las operaciones en ellos se pueden codificar en el cálculo lambda puro de una manera directa, como los llamados números de la Iglesia (y los bools de la Iglesia, supongo). No está claro cómo se codificarían bien los enteros, aunque obviamente se puede hacer.