Entscheidungsproblem vs. Unvollständigkeitssatz (pregunta suave)

Hilbert utiliza el primer término en su trabajo de 1928, pero en el trabajo posterior de Gödel, lo mismo se conoce como Unvollständigkeitssatz ("teorema de incompletitud"). Para los investigadores de CS alemanes de hoy, parece que Unvollständigkeitssatz se usa más comúnmente, y Entscheidungsproblem ("problema de decisión") todavía se entiende, pero no necesariamente está asociado con das Halteproblem (que parece ser más común después del trabajo de Turing en autómatas). Por otro lado, para los investigadores ingleses de CS, el problema Entscheidungsproblem suele ser la única palabra con la que están familiarizados.

Nota : las palabras no son las mismas, y se podría argumentar que la pregunta de Hilbert sobre la decisión fue contestada negativamente para un caso particular por las declaraciones de Gödel sobre la incompletitud , de modo que la incompletitud demuele la decisión en general.

Curiosamente, al mirar la Wikipedia alemana, no hay una entrada para el problema Entscheidungs , pero hay una para Gödelscher Unvollständigkeitssatz , y la entrada sobre Hilbert usa Gödelscher Unvollständigkeitssatz . Al mirar la Wikipedia en inglés, uno encuentra fácilmente una entrada para Entscheidungsproblem .

¿Cómo es que Entscheidungsproblem ya no se usa en alemán?

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— Franco
fuente

Interesante: para los investigadores de CS en inglés de hoy, cuando leen sobre historia se le conoce con más frecuencia como el problema Entscheidungs, ¡tanto que nunca había escuchado el término Unvollstandigkeitssatz antes de esta pregunta! ¿Puedes dar una traducción aproximada de los dos términos al inglés?

— Joshua Grochow

Sí, pero sorprendentemente, la Wikipedia alemana no tiene una entrada para Entscheidungsproblem , pero Gödelscher Unvollständigkeitssatz es una entrada de Wikipedia (en alemán), y la entrada sobre Hilbert usa Gödelscher Unvollständigkeitssatz .

— Frank

Sin embargo, hay una entrada de Wikipedia en alemán para Enscheidbar (decidible) de.wikipedia.org/wiki/Entscheidbar . Mi alemán es pobre, pero navegar en Wikipedia sugiere que Unvollständigkeitssatz es de hecho lo que se llama el "teorema de incompletitud" en inglés. Esto está relacionado con el problema Entscheidungs, pero no lo resuelve. El problema Entscheidungsproblem pregunta si hay un procedimiento que decida si una declaración dada en lógica de primer orden es demostrable. El teorema de incompletitud (Unvollständigkeitssatz) no responde a esta pregunta.

— Sasho Nikolov

¿No responde negativamente al mostrar que, al menos para la aritmética, tal procedimiento no puede ser ideado? Por lo tanto, no hay un solo procedimiento que siempre pueda decidir si alguna declaración en la lógica de primer orden es demostrable, dados los axiomas.

— Frank

@Frank The Ent ... se refiere a la lógica sin axiomas adicionales. La indecidibilidad de tales no se deriva directamente del teorema de la incompletitud como lo prueba Godel, porque trata con una teoría que no es axiomatizable.

— Emil Jeřábek

Las dos palabras no se refieren a la misma cosa. El problema Entscheidungsproblem de Hilbert fue la pregunta de si existe un algoritmo que decida la verdad universal de las oraciones lógicas de primer orden, que fue respondido negativamente por Turing en su famoso artículo de 1936 "On Computable Numbers, con una aplicación al problema Entscheidungsproblem ". La palabra literalmente significa problema de decisión . Supongo que la palabra ya no se usa ya que se refiere a un problema que se ha resuelto. En inglés aún puede ser más común debido a su uso destacado en el título del artículo de Turing.

Gödels Unvollständigkeitssatz es su teorema de incompletitud, afirmando que ninguna teoría aritmética consistente es completa, en particular, que no puede probar su propia consistencia. Esto respondió negativamente a una pregunta diferente de Hilbert, a saber. El segundo de sus 23 problemas famosos, que era probar la consistencia de los axiomas de la aritmética.

— Jan Johannsen
fuente

¡Gracias! Exactamente lo que estaba buscando. ¿Puede señalar a cuál de las preguntas de Hilbert responde Unvollständigkeitssatz ?

— Frank