¿Problema de espectros de gráfico inverso?

Por lo general, uno construye un gráfico y luego hace preguntas sobre la descomposición del valor propio de la matriz de adyacencia (o algún pariente cercano como el laplaciano ) (también llamado espectro de un gráfico ).

Pero, ¿qué pasa con el problema inverso? Dados valores propios, ¿puede uno (eficientemente) encontrar un gráfico que tenga este espectro? $n$

Sospecho que, en general, esto es difícil de hacer (y podría ser equivalente a GI), pero ¿qué pasa si relaja un poco las condiciones? ¿Qué pasa si haces condiciones de que no hay multiplicidad de valores propios? ¿Qué pasa con permitir gráficos que tienen espectros de "cierre" por alguna métrica de distancia?

Cualquier referencia o idea sería bienvenida.

EDITAR :

Como señala Suresh, si permite gráficos ponderados no dirigidos con bucles automáticos, este problema se vuelve bastante trivial. Esperaba obtener respuestas en el conjunto de gráficos simples no dirigidos, no ponderados, pero también estaría contento con los gráficos dirigidos simples no ponderados.

— usuario834
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Creo que es posible que deba modificar la pregunta a "gráficos no ponderados no dirigidos sin bucles automáticos" o algo así. ¿Puedo imaginar construir una matriz diagonal con los valores propios requeridos y declararla como un gráfico desconectado con bucles automáticos ponderados?

— Suresh Venkat

Una pregunta aún más simple (no sé la respuesta) es cómo construir gráficos conectados simples cuyos valores propios superiores se dan

— Yaroslav Bulatov

Una forma alternativa de plantear la pregunta (la versión con gráficos simples no dirigidos) es: dados n números reales (en algún formato), decida si existe una matriz n × n simétrica 0/1 con diagonales cero de modo que sus n valores propios sean los Números dados

— Tsuyoshi Ito

@Yaroslav: No estoy seguro, pero ese problema me parece más difícil que el caso en el que se dan todos los valores propios.

— Tsuyoshi Ito

Pequeña observación: si no tenemos restricciones en los valores propios, el problema es realmente difícil (incluso no incluye la parte algorítmica) ya que esto implicará la (no) existencia en el gráfico Moore de 57 regular , que todos los valores propios son conocidos.

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Respuestas:

Cvetcovic et todo en la sección 3.3 de "Los resultados recientes en la teoría de los espectros gráfico" va sobre algoritmos para la construcción de gráficos de espectro dado en algunos casos especiales

— Yaroslav Bulatov
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Incluso preguntar si existe un gráfico con un espectro dado es una pregunta difícil. Esto es atestiguado por el problema abierto de determinar si existe un gráfico de circunferencia 5 diámetro 2 y orden 3250 cuyo espectro (si existe) es conocido.

— Jernej
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Otro obstáculo para definir su pregunta es que son isospectrales (mismos valores propios) pero gráficos no isomórficos. Entonces, dada una lista de valores propios en tal caso, ¿qué gráfico quieres? ¿Quizás solo desee que un algoritmo devuelva un elemento aleatorio del conjunto de gráficos no isomórficos?

— dabacon
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Estaba pensando en algo similar al muestreo desde el espacio de gráficos que son isospectrales, pero parece que estamos descendiendo rápidamente a un problema equivalente GI (de ahí mi comentario anterior). Para simplificar, podríamos restringir a todos los valores propios distintos (que, si la CII garantiza un gráfico único), pero en realidad solo estoy tratando de ver lo que se conoce o existe.

— user834

No creo que valores propios distintos garanticen la reconstrucción, aquí hay algunos espectros de gráficos isospectrales en 7 nodos yaroslavvb.com/upload/save/cstheory-isospectral.png

— Yaroslav Bulatov

Me gusta la formulación de elementos aleatorios. Me interesaría saber si es equivalente a GI. Una de las razones por las que estoy interesado en la formulación de elementos aleatorios es la pregunta, planteada en mi trabajo con Arora y Steurer sobre juegos únicos, de si los gráficos con cierto espectro pueden ser expansores para conjuntos pequeños. Intuitivamente, uno puede esperar que un gráfico aleatorio con este espectro sea el mejor expansor posible para todos los tamaños establecidos, por lo que la información sobre los espectros inversos puede ser útil allí.

— Boaz Barak

@Yaroslav: ¡Gracias por ese enlace y gracias por corregirme!

— user834

@ user834: Re: su comentario sobre un problema equivalente a IG. Tenga en cuenta que la determinación del isomorfismo de gráficos con multiplicidad de valores propios acotada (en particular, gráficos sin valores propios múltiples) se puede hacer en tiempo polinómico.

— Joshua Grochow