Sí, ha habido mucho trabajo desde el artículo de 1991 de Cheeseman, Kanefsky y Taylor.
Hacer una búsqueda de revisiones de las transiciones de fase de los problemas de NP-Complete le dará muchos resultados. Una de esas revisiones es Hartmann y Weigt [1]. Para una introducción de nivel superior, vea los artículos de Brian Hayes American Scientist [2] [3].
El artículo de Cheesemen, Kanefsky y Taylor de 1991 es un caso desafortunado de informáticos que no prestan atención a la literatura matemática. En el artículo de Cheeseman, Kanefsky y Taylor, identificaron que el Ciclo Hamiltoniano tenía una transición de fase con un aumento en el costo de búsqueda cerca del umbral crítico. El modelo de gráfico aleatorio que utilizaron fue el gráfico aleatorio de Erdos-Renyi (probabilidad de borde fijo o distribución de grados Gaussiana equivalente). Este caso fue bien estudiado antes del artículo de Cheeseman et all de 1991 con algoritmos de tiempo polinomiales casi seguros conocidos para esta clase de gráfico, incluso en o cerca del umbral crítico. Los "Gráficos aleatorios" de Bollobas [4] son una buena referencia. La prueba original que creo fue presentada por Angliun y Valiant [5] con mejoras adicionales por Bollobas, Fenner y Frieze [6]. Después de Cheeseman,
La transición de fase para los Ciclos Hamiltonianos en gráficos aleatorios Erdos-Renyi aleatorios existe en el sentido de que hay una transición rápida de la probabilidad de encontrar una solución, pero esto no se traduce en un aumento en la complejidad "intrínseca" de encontrar Ciclos Hamiltonianos. Hay algoritmos de tiempo polinomiales casi seguros para encontrar Ciclos Hamiltonianos en gráficos aleatorios de Erdos-Renyi, incluso en la transición crítica, tanto en teoría como en la práctica.
La propagación de encuestas [8] ha tenido un buen éxito al encontrar instancias satisfactorias para 3-SAT aleatorios muy cerca del umbral crítico. Mi conocimiento actual está un poco oxidado, así que no estoy seguro de si ha habido un gran progreso en la búsqueda de algoritmos "eficientes" para casos insatisfactorios cerca del umbral crítico. 3-SAT, que yo sepa, es uno de los casos en los que es "fácil" resolver si es satisfactorio y está cerca del umbral crítico pero desconocido (¿o difícil?) En el caso insatisfactorio cerca del umbral crítico.
Mi conocimiento está un poco anticuado ahora, pero la última vez que examiné este tema en profundidad, hubo algunas cosas que me llamaron la atención:
- El ciclo hamiltoniano es "fácil" para los gráficos aleatorios de Erdos-Renyi. ¿Dónde están los problemas difíciles para ello?
- La partición de números debe poder resolverse cuando está muy lejos en la región de probabilidad 0 o 1 de probabilidad casi segura, pero no existen algoritmos eficientes (que yo sepa) incluso para tamaños de instancia moderados (1000 números de 500 bits cada uno es, hasta donde sé, completamente intratable con algoritmos de última generación). [9] [10]
- 3-SAT es "fácil" para instancias satisfactorias cerca del umbral crítico, incluso para tamaños de instancias enormes (millones de variables) pero difícil para instancias insatisfactorias cerca del umbral crítico.
Dudo en incluirlo aquí ya que no he publicado ningún artículo revisado por pares, pero escribí mi tesissobre el tema. La idea principal es que una posible clase de conjuntos aleatorios (ciclos hamiltonianos, problema de partición de números, etc.) que son "intrínsecamente difíciles" son los que tienen una propiedad de "invariancia de escala". Las distribuciones estables a Levy son una de las distribuciones más naturales con esta calidad, tienen colas de ley de potencia, y uno puede elegir instancias aleatorias de conjuntos NP-Completos que de alguna manera incorporan la distribución estable a Levy. Di algunas pruebas débiles de que se pueden encontrar instancias intrínsecamente difíciles del Ciclo Hamiltoniano si se eligen gráficos aleatorios con una distribución de grados estable de Levy en lugar de una distribución Normal (es decir, Erdos-Renyi). Si nada más, al menos le dará un punto de partida para una revisión de la literatura.
[1] AK Hartmann y M. Weigt. Transiciones de fase en problemas de optimización combinatoria: conceptos básicos, algoritmos y mecánica estadística. Wiley-VCH, 2005.
[2] B. Hayes. El problema difícil más fácil. Científico estadounidense, 90 (2), 2002.
[3] B. Hayes. En el umbral Científico estadounidense, 91 (1), 2003.
[4] B. Bollobás. Gráficos aleatorios, segunda edición. Cambridge University Press, Nueva York, 2001.
[5] D. Angluin y LG Valiant. Algoritmos probabilísticos rápidos para circuitos y emparejamientos de Hamilton. J. Computadora, Syst. Sci., 18: 155-193, 1979.
[6] B. Bollobás, TI Fenner y AM Frieze. Un algoritmo para encontrar caminos y ciclos de Hamilton en gráficos aleatorios. Combinatorica, 7: 327–341, 1987.
[7] B. Vandegriend y J. Culberson. La transición de fase G n, m no es difícil para el problema del ciclo hamiltoniano. J. of AI Research, 9: 219–245, 1998.
[8] A. Braunstein, M. Mézard y R. Zecchina. Propagación de encuestas: un algoritmo para la satisfacción. Estructuras aleatorias y algoritmos, 27: 201–226, 2005.
[9] I. Gent y T. Walsh. Análisis de heurística para partición de números. Computational Intelligence, 14: 430–451, 1998.
[10] CP Schnorr y M. Euchner. Reducción de la base del enrejado: algoritmos prácticos mejorados y resolución de problemas de suma de subconjuntos. En Proceedings of Fundamentals of Computation Theory '91, L. Budach, ed., Lecture Notes in Computer Science, volumen 529, páginas 68-85, 1991.