TSP euclidiana en NP y complejidad de raíz cuadrada

En las notas de esta conferencia de Ola Svensson: http://theory.epfl.ch/osven/courses/Approx13/Notes/lecture4-5.pdf , se dice que no sabemos si Euclidean TSP está en NP:

La razón es que no sabemos cómo calcular las raíces cuadradas de manera eficiente.

Por otro lado, hay un documento de Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 que dice que está completo en NP, lo que también significa que está en NP. Aunque no lo prueba en el documento, creo que considera que la membresía en NP es trivial, como suele ser el caso con tales problemas.

Estoy confundido por esto. Honestamente, la afirmación de que no sabemos si Euclidian TSP está en NP me sorprendió, ya que asumí que es trivial: tomando el tour TSP como un certificado, podemos verificar fácilmente que es un tour válido. Pero el problema es que puede haber algunas raíces cuadradas. Entonces, las notas de la clase básicamente afirman que no podemos en tiempo polinómico resolver el siguiente problema:

Dado el número racional , decida si $q_1,\ldots,q_n,A\in\mathbb{Q}$.$\sqrt{q_1}+\cdots+\sqrt{q_n}\leq A$

Pregunta 1: ¿Qué sabemos sobre este problema?

Esto plantea la siguiente simplificación, que no pude encontrar:

$n=1$

$q_{1,k},\ldots,q_{n,k},A_k\in\mathbb{Q}$$k=1,2,\ldots$$p$$k$$\sqrt{q_{1,k}}+\cdots+\sqrt{q_{n,k}}$$A_k$$p(\text{input-size})$

Pregunta 3: ¿Existe tal instancia de número relacional?

$\text{input-size}$

$24/13$$2.5334\overline{567}$

$n$$n$

$n=1$$q \le A^2$

$a_1, \ldots, a_k, b_1, \ldots, b_k$$1$$n$$| \sum_{i = 1}^k \sqrt{a_i} - \sum_{i = 1}^k \sqrt{b_i}| = O(n^{-2k + 3/2})$$\Omega(2k\log n)$$k$

Q4. Creo que la representación decimal podría ser bastante ineficiente. La duración del período es el orden multiplicativo de 10 módulos del denominador, que puede ser exponencial en el número de bits del denominador.

Tu escribiste:

Por otro lado, hay un documento de Papadimitriou: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397577900123 que dice que está completo en NP, lo que también significa que está en NP. Aunque no lo prueba en el documento, creo que considera que la membresía en NP es trivial, como suele ser el caso con tales problemas.

¿Por qué no simplemente lees el periódico, en lugar de publicar tales afirmaciones sin sentido? En la página 239, Papadimitriou discute cuidadosamente estos problemas y define la variante subyacente de la métrica euclidiana para su prueba.