Lenguajes regulares y complejidad de comunicación constante.

Deje que sea un lenguaje y defina por iff . Estoy buscando una referencia para: $L \subseteq A^*$ $f_L\colon A^* \times A^* \to \{0, 1\}$ $f_L(x, y) = 1$ $x\cdot y \in L$

Proposición. es regular si la complejidad de comunicación determinista de es constante. $L$ $f_L$

En otras palabras, es regular si existe un protocolo dos jugadores para modo que la función está limitada por una constante, donde es el número de bits intercambiados por Alice y Bob cuando Alice recibe y Bob , siguiendo el protocolo . $L$ $P$ $f_L$

n \mapsto max {comm (P, x, y) : | x \cdot y | = n}

$n \mapsto \max\{\text{comm}(P, x, y) : |x\cdot y| = n\}$

comm (P, x, y)

$\text{comm}(P, x, y)$

x

$x$

y

$y$

P

$P$

El único lugar que pude encontrar es en la tesis doctoral de George Hauser, 1989, disponible aquí , donde también generaliza eso a otras distribuciones de la entrada $x\cdot y$ entre Alice y Bob, de modo que el número de "cortes" es constante.

reference-request communication-complexity regular-language

— Michaël Cadilhac
fuente

Tome un lenguaje

C

$C$ que no sea regular y defina

L = {c \circ r : c \in C, r \in {0, 1}^{| c |}}

$L = \{c \circ r : c \in C, r \in \{0,1\}^{|c|} \}$ . Entonces

L

$L$ tiene una complejidad de comunicación

O (1)

$O(1)$ , pero ciertamente no es regular. ¿Qué me estoy perdiendo?

— Igor Shinkar

@IgorShinkar: No estoy seguro de que obtenga exactamente lo que escribió allí, pero parece estar insinuando la prueba clásica de que cada idioma con una sola palabra por longitud puede transformarse en un idioma con una complejidad de comunicación constante. Sin embargo, esto supone que Alice y Bob reciben exactamente la mitad de la palabra que se prueba; aquí, no existe tal suposición, y, de manera contradictoria, deberían resolver el problema dada cualquier división de la entrada. Eso responde tu pregunta?

— Michaël Cadilhac

Oh ya veo. Entonces, si para cualquier división el CC es constante, entonces es regular.

L

$L$

— Igor Shinkar

Para , tiene "Complejidad de comunicación", Eyal Kushilevitz en Advances in Computers, Volumen 44, 1997 ( http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0065245808603423 ). $\Rightarrow$

También puede encontrar una sección "Complejidad de la comunicación y jerarquía Chomsky" en el libro "Complejidad de la comunicación y computación paralela" de Juraj Hromkovič, donde está comprobado. Puede ser que también esté probado en alguna parte del libro, pero no lo encuentro aquí. Lo más parecido que parece ser es el Ejercicio 5.2.5.2, pero es solo un ejercicio (vea también el Capítulo 5 completo, que estudia extensamente el autómata finito pero no creo que responda explícitamente a su pregunta). $\Leftarrow$

Por lo que vale, la prueba de ambas direcciones parece fácil, así que creo que si la necesita en un documento, puede dibujarla rápidamente: para , tome un autómata finito para y observe que es suficiente para que Alice se comunique el estado que alcanza después de haber leído su parte de la entrada. Entonces Bob termina la simulación en los autómatas. Para , si tiene un protocolo delimitado por una constante, entonces tiene un número finito de cociente que es una caracterización bien conocida de los idiomas regulares . $\Rightarrow$ $L$ $\Leftarrow$ $L$ $w^{-1}L = \{u : wu \in L\}$

— holf
fuente

Muchas gracias por tu aporte. Estoy de acuerdo en que es un resultado fácil y natural, y probablemente debería considerarse folklore. Sé que las dos referencias que da bastante bien, de hecho, y, tal como lo hizo, no pude encontrar el protocolo que estoy considerando anteriormente. Como esta pregunta es una "solicitud de referencia", me temo que no puedo aceptar su respuesta en este momento.

— Michaël Cadilhac

Lo sé, pero fue demasiado largo para un comentario y creo que aún valía la pena mencionar que al menos una forma está probada explícitamente en la literatura. ¡Te hago saber si me tropiezo con la prueba!

— holf

¡Muy apreciado! :-)

— Michaël Cadilhac