Parametrización dual no estándar de problemas gráficos

8

Un resultado fundamental en la complejidad parametrizada de los problemas gráficos es que la CUBIERTA VERTEX parametrizada por el tamaño de la solución es manejable con parámetros fijos (FPT). Por otro lado, cuando se parametriza mediante el "parámetro dual" , se convierte en equivalente a SET INDEPENDIENTE parametrizado por tamaño de solución (porque cualquier cubierta de vértice es el complemento de un conjunto independiente), y por lo tanto es W [1] -duro. $k$ $|V(G)|-k$

Aunque esto parece menos natural, estoy interesado en la complejidad parametrizada de VERTEX COVER para el parámetro . Este es un parámetro más grande que . ¿VERTEX COVER FPT es para este parámetro? $|E(G)|-k$ $|V(G)|-k$

Nota: También estoy interesado en parametrizaciones similares para otros problemas de gráficos (p. Ej., DOMINATOR SET). El único lugar donde he visto los dos tipos de parámetros duales estudiados es para el problema de la hipergrafía TEST COVER en el artículo de 2012 " Estudio parametrizado del problema de la cubierta de prueba " de Crowston, Gutin, Jones, Saurabh y Yeo. (también en arXiv )

Editar (04/12/2016): Esta parametrización también se estudia para el otro problema de hipergrafía SET HITTING en los Kernels de papel de 2011 para parametrizaciones por debajo del límite superior del conjunto de golpes y los problemas del conjunto dominante dirigido por Gutin, Mones y Yeo ( arXiv enlace ).

reference-request graph-algorithms fixed-parameter-tractable

— Florent Foucaud
fuente

5

Seay. El parámetro dual siempre es al menos tan grande como que a su vez es al menos tan grande como el tamaño de un conjunto de bordes de retroalimentación, un conjunto de bordes cuya eliminación hace que sea acíclico. $n:=|V(G)|$ $m:= |E(G)|$ $m-k$ $m-n$ $G$

El tamaño de un conjunto de bordes de retroalimentación más pequeño, llamémoslo número de borde de retroalimentación , también es al menos tan grande como el número de vértice de retroalimentación y el ancho del árbol del gráfico. Esto implica directamente que Vertex Cover es un parámetro fijo manejable para . Además, tiene un núcleo polinomial ya que Vertex Cover parametrizado por el número de vértice de retroalimentación tiene uno (esto fue demostrado por Jansen y Bodlaender en Vertex Cover Kernelization Revisited - Upper and Lower Bounds para un parámetro refinado. Theory Comput. Syst. 53 (2): 263-299 (2013), http://dx.doi.org/10.1007/s00224-012-9393-4 ). $\phi$ $m-k$

Debe obtenerse un núcleo lineal directo simple para la cubierta de vértices parametrizado por el número de borde de retroalimentación siguiente manera: elimine todos los vértices de grado 0, agregue el vecino de cualquier vértice de grado 1 a la cubierta de vértice y reduzca las rutas de vértices de grado 2 que contienen al menos 2 vértices (disminuyendo el límite en consecuencia). Después de la aplicación exhaustiva de estas reglas de reducción, en el gráfico resultante . Esto implica directamente un núcleo para el parámetro más grande . $\phi$ $k$ $n=O(\phi)$ $m-k$

Para responder a su pregunta en busca de referencias: buscaría un número de borde de retroalimentación que sea más pequeño que el parámetro dual , se ha considerado en la literatura y, a menudo, proporciona resultados de trazabilidad de parámetros fijos también para el conjunto dominante (ya que el parámetro es bastante grande) . Aquí hay tres ejemplos más: $m-k$

Johannes Uhlmann, Mathias Weller: Planarización de dos capas parametrizada por el conjunto de bordes de retroalimentación. Theor Comput Sci. 494: 99-111 (2013), http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2013.01.029

André Nichterlein, Rolf Niedermeier, Johannes Uhlmann, Mathias Weller: sobre casos manejables de selección de conjunto de objetivos. Red social. Analys Minería 3 (2): 233-256 (2013), http://dx.doi.org/10.1007/s13278-012-0067-7

Sepp Hartung, Christian Komusiewicz, André Nichterlein: Algoritmos parametrizados y experimentos computacionales para encontrar 2 clubes. J. Algoritmos gráficos aplicados. 19 (1): 155-190 (2015), http://dx.doi.org/10.7155/jgaa.00352

— C Komus
fuente

Si hay alguno, entonces "Eliminar todos los vértices de grado 0" disminuye n sin cambiar m, entonces aumenta mn. En consecuencia, el tamaño del gráfico resultante es lineal en el parámetro del gráfico resultante no significa que el tamaño del gráfico resultante tenga ningún límite en términos del parámetro del gráfico de entrada .

Sí, gracias por señalar esto. Cambié esta parte a una kernelización para el número de borde de retroalimentación que es más pequeño.

— C Komus

2

m - k

$m-k$

n - k

$n-k$

9

$2k+1$ $G'$ $|E(G')|\le |E(G)|-2k$ $G'$ $|E(G')|$ $|E(G)|-k$ $G$

$2k+1$ $2k+1$ $2k$

— Michael Lampis
fuente

Gracias, ordenado! Si conoce una referencia donde se estudia dicho parámetro (para otros problemas gráficos), hágamelo saber.

— Florent Foucaud