Consistencia relativa de PA y algunas teorías de tipos

Para una teoría de tipos, por consistencia, quiero decir que tiene un tipo que no está habitado. De la fuerte normalización del cubo lambda, se deduce que el sistema y el sistema son consistentes. Los tipos inductivos MLTT + también tienen una prueba de normalización. Sin embargo, todos estos deberían ser lo suficientemente potentes como para construir un modelo de AP, lo que demuestra que la AP es consistente a partir de estas teorías. El Sistema es bastante poderoso , por lo que espero que sea capaz de demostrar la consistencia de PA al construir un modelo usando números de la Iglesia. MLTT + IT tiene un tipo inductivo de números naturales y también debe demostrar consistencia.$F$$F_\omega$$F$

Todo esto implica que las pruebas de normalización para estas teorías no pueden ser internalizadas en PA. Entonces:

1. ¿Pueden el sistema $F$ , el sistema $F_\omega$ y MLTT + IT probar la consistencia de PA?
2. Si pueden, ¿qué metateoría se necesita para demostrar la normalización del sistema $F$ , $F_\omega$ y MLTT + IT?
3. ¿Existe una buena referencia para la teoría de prueba de las teorías de tipos en general, o para algunas de estas teorías de tipos en particular?

La respuesta corta a su pregunta 1 es no , pero quizás por razones sutiles.

En primer lugar, el Sistema y no pueden expresar la teoría de primer orden de la aritmética , y menos aún la consistencia de .$F$$F_\omega$ $\mathrm{PA}$

En segundo lugar, y esto es realmente sorprendente, puede probar la consistencia de ambos sistemas. Esto se realiza utilizando el llamado modelo de prueba irrelevante , que interpreta los tipos como conjuntos , donde es un elemento ficticio que representa a un habitante de un tipo no vacío . Entonces uno puede escribir reglas simples para la operación de y en tales tipos con bastante facilidad para obtener un modelo para el sistema , en el que interpreta el tipo . Se puede hacer algo similar para$\mathrm{PA}$$\in\{\varnothing,\{\bullet\}\}$$\bullet$$\rightarrow$$\forall$$F$$\forall X.X$$\varnothing$$F_\omega$, utilizando un poco más de cuidado para interpretar tipos superiores como espacios de funciones finitas.

Hay una aparente paradoja aquí, donde puede probar la consistencia de estos sistemas aparentemente poderosos, pero no (como mostraré en un momento) la normalización.$\mathrm{PA}$

El ingrediente que falta aquí es la realizabilidad . La realización es una forma de hacer que ciertos programas se correspondan con ciertas proposiciones, típicamente en aritmética. No entraré en detalles aquí, pero si un programa realiza una proposición , escrita , entonces tenemos cierta evidencia para , en particular si está normalizando, entonces . Tenemos:ϕ p ⊩ ϕ ϕ p p ⊮ $p$$\phi$$p\Vdash \phi$$\phi$$p$$p\not\Vdash\bot$

Teorema: si es un teorema de aritmética de segundo orden , entonces hay algún término cerrado del sistema tal queP A 2 t F t ⊩ $\phi$$\mathrm{PA}_2$$t$$F$

$$t\Vdash\phi$$

Este teorema se puede probar en , por lo que tenemos y se aplica el argumento de Gödel (y no puede probar la normalización del sistema ). Es útil señalar que la implicación inversa se mantiene, así, por lo que tenemos una caracterización exacta de la potencia de la prueba teórica necesaria para probar la normalización del sistema de .P A ⊢ F se  está normalizando ⇒ P A 2  es consistente P A F $\mathrm{PA}$

Hay una historia similar para el sistema , que, creo, corresponde a una aritmética más alta .P A$F_\omega$$\mathrm{PA}_\omega$

Finalmente, tenemos el complicado caso de MLTT con tipos inductivos. Aquí nuevamente surge una cuestión algo sutil. Ciertamente, aquí podemos expresar la consistencia de , por lo que eso no es un problema, y ​​no hay un modelo irrelevante de prueba, ya que podemos demostrar que el tipo tiene al menos 2 elementos (un cantidad infinita de elementos distintos, de hecho).N a $\mathrm{PA}$$\mathrm{Nat}$

Sin embargo, nos encontramos con un hecho sorprendente de teorías intuicionistas de orden superior: , ¡la versión de orden superior de Heyting Arithmetic es conservadora sobre ! En particular, no podemos probar la consistencia de , (que es equivalente a la de ). Una razón intuitiva para esto es que los espacios de funciones intuicionistas no le permiten cuantificar sobre un subconjunto arbitrario de , ya que todas las funciones definibles deben ser computables.H A P A H A N N →$\mathrm{HA}_\omega$$\mathrm{HA}$$\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$$\mathbb{N}$$\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$

En particular, no creo que pueda probar la consistencia de si agrega solo números naturales a MLTT sin universos. Sin embargo, creo que agregar universos o tipos inductivos "más fuertes" (como los tipos ordinales) te dará suficiente poder, pero me temo que no tengo ninguna referencia para esto. Sin embargo, con los universos, el argumento parece bastante simple, ya que tiene suficiente teoría de conjuntos para construir un modelo de .H $\mathrm{PA}$$\mathrm{HA}$

Finalmente, referencias para la teoría de la prueba de los sistemas de tipos: creo que hay realmente una brecha en la literatura aquí, y me encantaría un tratamiento limpio de todos estos temas (de hecho, ¡sueño con escribirlo yo mismo algún día!). Mientras tanto:

• Miquel y Werner explican aquí el modelo irrelevante de la prueba , aunque lo hacen para el cálculo de construcciones, lo que complica un poco las cosas.

• El argumento de realizabilidad se esboza en las pruebas y tipos clásicos de Girard, Taylor y Lafont. Creo que también esbozan el modelo irrelevante de la prueba, además de una gran cantidad de cosas útiles. Es probablemente la primera referencia para leer.

• El argumento conservador de la aritmética de Heyting de orden superior se puede encontrar en el escurridizo segundo volumen de Constructivism in Mathematics de Troelstra y van Dalen (ver aquí ). Ambos volúmenes son extremadamente informativos, pero bastante difíciles de leer para un novato, en mi humilde opinión. También evita de alguna manera los temas de teoría de tipo "moderno", lo cual no es sorprendente dada la edad de los libros.

Una pregunta adicional en los comentarios fue acerca de la fuerza de consistencia exacta / fuerza de normalización de MLTT + Inductives. No tengo una respuesta precisa aquí, pero ciertamente la respuesta depende del número de universos y la naturaleza de las familias inductivas permitidas. Rathjen explora esta pregunta en el excelente artículo La fuerza de algunas teorías de Martin-Lof Type .

Normalización de Wrt, la idea básica es que si, para 2 teorías y , tenemos $\cal{T}$$\cal{U}$

entonces, generalmente

donde 1- es coherencia 1 y es normalización (débil).$\mathrm{Con}$$\mathrm{Norm}$

MLTT + el tipo de números naturales (y recursividad) es una extensión conservadora de , que se demuestra en los modelos recursivos de Besson para teorías de conjuntos constructivos .$\mathrm{HA}_\omega$

En cuanto a MLTT con inducción-recursión o inducción-inducción, no sé cuál es la situación, y AFAIK, el problema de la fuerza de consistencia exacta todavía está abierto.