Complejidad de un problema matricial

El siguiente problema apareció recientemente en mi investigación. Al no ser un experto en preguntas algorítmicas, busqué en Google en busca de problemas adecuados para reducir. No veo cómo funcionaría 3SAT, y aunque ZOE es similar en espíritu, una reducción no es obvia. Otra posibilidad sería la teoría existencial de los reales. Eso tampoco parece ser el partido, pero podría estar equivocado al respecto.

Problema: $A$ y $B$ son matrices $n\times n$ sobre su campo favorito. Suponemos que un conjunto arbitrario de índices de $A$ se establece en 0. Del mismo modo, un conjunto arbitrario de índices de $B$ se establece en 0. Pregunta: ¿podemos completar los índices restantes de $A$ y $B$ modo que $AB = I_n$ ?

Ejemplo: $A = \begin{bmatrix} 0 & a_1 \\ a_2 & 0 \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} b_1 & 0 \\ 0 & b_2 \end{bmatrix}$ . Imposible.

¿Cuál es la complejidad computacional de esto (en $n$ )?

Cualquier sugerencia o idea sobre dónde buscar resultados similares en la literatura será muy apreciada.

EDITAR (se olvidó por completo de esta publicación): en un trabajo reciente que está disponible en el arXiv (si alguien está interesado en la preimpresión, hágamelo saber) hemos demostrado que el problema es NP-hard en cualquier campo finito.

cc.complexity-theory

— MEGABYTE
fuente

Siempre que el campo base sea lo suficientemente grande, el problema de verificar si puede hacer que

invertible se reduce a (el complemento de) la prueba de identidad polinómica. Solo observe que el determinante de

es un polinomio en los valores de las entradas que faltan.

A B

$AB$

A B

$AB$

— Andrew Morgan

Además, el caso en el que restringimos las entradas de

a cero y uno, y la característica del campo es mayor que

, se reduce a una coincidencia perfecta bipartita. Puede imaginar elegir para cada índice

otro índice

para que establezca

y las entradas restantes cero. (Poner más que esto solo puede doler). Entonces la condición

puede expresarse como un gráfico bipartito con los índices

A

$A$

B

$B$

n

$n$

i

$i$

k_{i}

$k_i$

A_{i, k_{i}} = B_{k_{i}, i} = 1

$A_{i,k_i} = B_{k_i,i} = 1$

A B = I_{n}

$AB = I_n$

i

$i$ a la izquierda, opciones de

a la derecha y bordes para

pares para los que podemos establecer

k_{i}

$k_i$

(i, k_{i})

$(i,k_i)$

A_{i, k_{i}}

$A_{i,k_i}$

B_{k_{i}, i}

$B_{k_i,i}$

— Andrew Morgan

@MB: Además, tenga en cuenta que, si bien verificar si

se puede hacer invertible, es lo mismo que verificar si tanto

como

pueden hacer por separado, verificar si

se puede hacer invertible no es lo mismo que verificar si

se le puede hacer la identidad . Para verificar si

(resp.

) se puede hacer invertible, usted dice "eso se puede hacer de manera efectiva", pero en su contexto esto es equivalente a verificar una coincidencia perfecta entre el soporte de

(resp.

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A B

$AB$

A B

$AB$

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$ ) (mismo problema, pero con una configuración ligeramente diferente del segundo comentario de Andrew Morgan).

— Joshua Grochow

Parece probable que en PPAD haya algún caso especial de este problema, como el problema de complementariedad lineal: kintali.wordpress.com/2009/08/04/linear-complementarity-prob‌ lem Esto demostraría que encontrar una solución es difícil.

— domotorp

En caso de que otros no lo hayan resuelto, hay una opción de

(sobre cualquier campo) para el cual

, pero para el cual falla la prueba de coincidencia perfecta. es decir, no hay ninguna matriz de permutación

de manera que

es apoyado sobre el soporte de

, y

está soportada en el apoyo de

. La elección viene dada por

A, B

$A,B$

A B = I

$AB = I$

P

$P$

P

$P$

A

$A$

P^{- 1} = P^{⊺}

$P^{-1}=P^{\intercal}$

B

$B$

A = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A=\begin{bmatrix}1&-1&0\\1&0&1\\1&-1&1\end{bmatrix}$

B = [\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

$B=\begin{bmatrix}1&1&-1\\0&1&-1\\-1&0&1\end{bmatrix}$

— Andrew Morgan

Bueno, aquí es un no-terrible límite superior sobre : , o suponiendo que la hipótesis de Riemann, . Esto se debe a que para cualquier patrón dado de ceros para , verificar si uno puede hacer es verificar si cierto sistema de ecuaciones polinómicas enteras tiene una solución en , y esto se puede hacer en estos límites, por Koiran. $\mathbb{C}$ $\mathsf{PSPACE}$ $\mathsf{AM}$ $A,B$ $AB=I_n$ $n^2$ $\mathbb{C}$

Otro enfoque es tratar de aprovechar el hecho de que este es de hecho un sistema de ecuaciones bilineales . Resolver ecuaciones bilineales es equivalente a encontrar soluciones de "rango 1" para ecuaciones lineales. He estado tratando de determinar si existen mejores límites superiores para resolver los sistemas bilineales en general, pero hasta ahora no he tenido suerte. También es posible que uno pueda aprovechar la estructura particular de estas ecuaciones bilineales para obtener algo mejor de lo que se conoce en general ...

— Joshua Grochow
fuente

¿No se sigue PSPACE del problema de estar en NP?

— MB

@MB: sobre campos finitos, el problema está obviamente en NP (solo muestra la configuración de variables), que es un límite superior mejor que AM, incluso. Cuando la entrada es polinomios enteros pero solicita una solución en los números complejos, cuando hay una solución, ni siquiera es obvio que puede escribirla en cualquier cantidad finita de memoria, y mucho menos acotada polinomialmente.

— Joshua Grochow el