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¿Es $\mathsf{NP^{PP}} = \mathsf{P^{PP}}$ ? O, más generalmente, ¿es $\mathsf{NP^{PP}} \subseteq \mathsf{P^{PP}/poly}$ ?

complexity-classes

— Ilya Volkovich
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Estos son problemas abiertos interesantes. Su segunda pregunta produce un colapso de Karp-Lipton.

Tenga en cuenta que el teorema de Toda le da $NP\subseteq P^{PP}$ , pero eso no es suficiente para nuestros propósitos. Queremos saber si $NP^{PP}\subseteq P^{PP}$ , lo que hace que esta sea una pregunta divertida en mi opinión.

1: Tenga en cuenta que y , por lo que su primera pregunta ya ha sido formulada y respondida aquí . Se pregunta si la jerarquía polinómica se colapsa en relación con un oráculo (o de manera equivalente en relación con un oráculo ). Según esta respuesta , esa es una pregunta abierta. Si entonces claramente la jerarquía colapsa en relación con ese oráculo. $NP^{PP}=NP^{\#P}$ $P^{PP}=P^{\#P}$ $PP$ $\#P$ $P^{PP}=NP^{PP}$

2: Creo que es un problema abierto, y sería respondido si supiéramos si la jerarquía polinómica se colapsa en relación con un oráculo . Porque, tenga en cuenta que obtiene un colapso de Karp-Lipton: $PP$

N P^{P P} \subset P_{/ p o l y}^{P P} implies {Σ_{2}^{P}}^{P P} = {Π_{2}^{P}}^{P P}

$NP^{PP}\subset P^{PP}_{/poly} \text{ implies }{\Sigma_2^P}^{PP}={\Pi_2^P}^{PP}$ Aquí solo he usado el hecho que el teorema de Karp-Lipton relativiza. Si ve esto como evidencia contra la conjetura depende de si cree que la jerarquía polinómica se colapsa en relación con , porque si cree que se colapsa hasta relación con este oráculo, entonces sí, .

P P

$PP$

P

$P$

N P^{P P} = P^{P P} \subset P_{/ p o l y}^{P P}

$NP^{PP}=P^{PP}\subset P^{PP}_{/poly}$

Yendo más allá, tenga en cuenta que y no tenemos un oráculo que separe , por lo que una separación de oráculo hacia su primera pregunta, , es más ambiciosa que eso, y sería un buen resultado por derecho propio. Actualmente ni siquiera tenemos un oráculo con respecto al cual .

P P \subseteq P^{P P} \subseteq N P^{P P} \subseteq P P^{P P} = C_{2}^{P},

$PP\subseteq P^{PP}\subseteq NP^{PP}\subseteq PP^{PP}=C_2^P,$

P P ⊊ P P^{P P}

$PP\subsetneq PP^{PP}$

P^{P P} ⊊ N P^{P P}

$P^{PP}\subsetneq NP^{PP}$

P^{P P} ⊊ P S P A C E

$P^{PP}\subsetneq PSPACE$

Personalmente, me encantaría ver la otra cara: ¿es ? Ya sabemos que no está contenido en para ninguna fija . ¿Podemos mostrar lo mismo para ? $PP\subseteq NP_{/poly}$ $PP$ $P_{/n^k}$ $k$ $NP_{/n^k}$

— Lieuwe Vinkhuijzen
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