Estado de integridad de PP de MAJ3SAT

PREGUNTA CORTA: ¿MAJ-3CNF es un problema de PP completo bajo muchas reducciones?

VERSIÓN MÁS LARGA: Es bien sabido que MAJSAT (decidir si la mayoría de las asignaciones de oración proposicional satisface la oración) es PP-completo bajo muchas reducciones y #SAT es # P-completo bajo reducciones parsimoniosas. También es evidente que # 3CNF (es decir, #SAT restringido a fórmulas de 3-CNF) es # P-completo, porque la reducción de Cook-Levin es parsimoniosa y produce un 3-CNF (esta reducción se usa realmente en el libro de Papadimitriou para mostrar # P-completitud de #SAT).

Parece que un argumento similar debería probar que MAJ-3CNF es PP-completo bajo muchas reducciones (MAJ-kCNF es MAJSAT restringido a fórmulas kCNF; es decir, cada cláusula tiene k literales).

Sin embargo, en una presentación de Bailey, Dalmau y Kolaitis, "Transiciones de fase de problemas de satisfacción de PP-Completo", los autores mencionan que "no se sabe que MAJ3SAT sea PP-Completo" (presentación en https: //users.soe.ucsc .edu / ~ kolaitis / talk / ppphase4.ppt ). Esta oración no parece aparecer en sus documentos relacionados, solo en sus presentaciones.

Preguntas: ¿Se puede adaptar la prueba de que # 3CNF es # P-complete para demostrar que MAJ3CNF es PP-complete? Dada la declaración de Bailey et al., Parece que no; si la prueba no lleva, entonces: ¿Hay una prueba de que MAJ-3CNF es PP-complete? Si no, ¿hay alguna intuición en cuanto a la diferencia entre PP y #P con respecto a este resultado?

RESPUESTA CORTA:
Se desconoce si es un problema P P completo bajo muchas reducciones.$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

RESPUESTA LARGA: En
primer lugar, se refiere a Bailey, Dalmau y Kolaitis, y su trabajo sobre "Transiciones de fase de problemas de satisfacción completa "$\mathsf{PP}$ en su pregunta. Déjame citarlos:

'También vale la pena señalar que, aunque es P P -completo, no se sabe si hay un número entero k ≥ 3 , tal que M A J O R I T Y k S A T es P P -completo.$\mathsf{MAJORITY \ SAT}$$\mathsf{PP}$$k \geq 3$$\mathsf{MAJORITY}$ $\mathsf{kSAT}$$\mathsf{PP}$

[ http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166218X06004665 ]

De hecho, es correcto que la reducción de Cook-Levin sea parsimoniosa y produzca un 3CNF a partir de un determinado CNF. Como es # P -completo, inmediatamente se deduce que # 3 C N F también es # P -completo bajo reducciones parsimoniosas. Sin embargo, como ya se señaló en un comentario, las reducciones parsimoniosas no conservan la mayoría. Estas reducciones introducen variables auxiliares para reducir el tamaño de las cláusulas, pero a su vez, estas variables auxiliares aumentan el número total de asignaciones. Por ejemplo, considere el 4CNF que consiste en una sola cláusula:$\mathsf{\#CNF}$$\mathsf{\#P}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{\#P}$

$\phi = (x_1 \vee x_2 \vee x_3 \vee x_4)$

que se transforma en

$\phi'=(x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (y \leftrightarrow (x_3 \vee x_4))$

usando la variable auxiliar y finalmente al 3CNF$y$

$\psi= (x_1 \vee x_2 \vee y) \wedge (\neg y \vee x_3 \vee x_4) \wedge (y \vee \neg x_3 ) \wedge (y \vee \neg x_4).$

Esta transformación conserva claramente el conteo del modelo, pero es fácil ver que la mayoría no está preservada. tiene 15 tareas satisfactorias de 16 tareas, mientras que ψ tiene 15 tareas satisfactorias de 32 tareas. En el primero, la satisfacción de la mayoría es válida, mientras que en el segundo no se cumple la satisfacción de la mayoría.$\phi$$\psi$

Por lo tanto, NO, la prueba de que # 3CNF es -completo no se puede adaptar para demostrar que M A J 3 C N F es P P -completa? Queda abierto si M A J 3 C N F es un problema completo de P P bajo reducciones de muchos.$\mathsf{\#P}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{PP}$

no da mucho de una penetración entre las diferencias de # P y P P . En realidad, la variante de decisión de decisión de # 3 C N F , digamos D # 3 C N F , se define de la siguiente manera: dado un CNF ϕ y un número m ≥ 0 , decida si ϕ tiene al menos m asignaciones satisfactorias. Tenga en cuenta que para D # 3 C N $\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{\#P}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{\#3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$$\phi$$m \geq 0$$\phi$$m$$\mathsf{D\#3CNF}$, no nos importa la mayoría. Por lo tanto, podemos transformar cualquier CNF en 3CNF usando una reducción parsimona, lo que demuestra que es P P -completo bajo muchas reducciones. M A J 3 C N F es simplemente un problema diferente que D # 3 C N F .$\mathsf{D\#3CNF}$$\mathsf{PP}$$\mathsf{MAJ3CNF}$$\mathsf{D\#3CNF}$