Complejidad del tiempo del algoritmo Bellman-Held-Karp para TSP, toma 2

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Una pregunta reciente discutió el algoritmo de programación dinámica ahora clásico para TSP, debido independientemente a Bellman y Held-Karp . Universalmente se informa que el algoritmo se ejecuta en tiempo $O(2^n n^2)$ . Sin embargo, como señaló recientemente uno de mis alumnos, este tiempo de ejecución puede requerir un modelo de computación irrazonablemente poderoso.

Aquí hay una breve descripción del algoritmo. La entrada consiste en un gráfico dirigido $G=(V,E)$ con $n$ vértices y una función de longitud no negativa $\ell\colon E\to\mathbb{R}^+$ . Para cualquier vértice $s$ y $t$ , y cualquier subconjunto $X$ de vértices que excluya $s$ y $t$ , deje que $L(s,X,t)$ denote la longitud del camino hamiltoniano más corto de $s$ a $t$ en el subgrafo inducido $G[X\cup\{s,t\}]$ . El algoritmo de Bellman-Held-Karp se basa en la siguiente recurrencia (o como a los economistas y teóricos del control les gusta llamarlo, "ecuación de Bellman"):

L (s, X, t) = {\begin{cases} ℓ (s, t) & Si X = \emptyset_{} \\ min_{v \in X} (L (s, X ∖ {v}, v) + ℓ (v, t)) & de otra manera \end{cases}

$L(s,X,t) = \begin{cases} \ell(s,t) & \text{if $X = \varnothing_{\strut} $} \\ \min_{v\in X}~ \big(L(s, X\setminus\lbrace v\rbrace, v) + \ell(v,t)\big) & \text{otherwise} \end{cases}$

Para cualquier vértice , la duración del recorrido óptimo del vendedor itinerante es . Debido a que el primer parámetro es constante en todas las llamadas recursivas, hay subproblemas diferentes, y cada subproblema depende de, como máximo, otros. Por lo tanto, el algoritmo de programación dinámica se ejecuta en tiempo . $s$ $L(s,V\setminus\{s\}, s)$ $s$ $\Theta(2^n n)$ $n$ $O(2^n n^2)$

¿O sí?

El modelo estándar de RAM entera permite la manipulación en tiempo constante de enteros con bits , pero al menos para operaciones aritméticas y lógicas , los enteros más grandes deben dividirse en fragmentos de tamaño de palabra. (De lo contrario, pueden suceder cosas extrañas ). ¿No es esto también cierto para el acceso a direcciones de memoria más largas? Si un algoritmo usa espacio superpolinomial, ¿es razonable suponer que los accesos a la memoria requieren solo un tiempo constante? $O(\log n)$

Para el algoritmo Bellman-Held-Karp en particular, el algoritmo debe transformar la descripción del subconjunto en la descripción del subconjunto , para cada , a fin de acceder a la tabla de memorización. Si los subconjuntos están representados por enteros, estos enteros requieren bits y, por lo tanto, no pueden manipularse en tiempo constante; Si no están representados por enteros, su representación no se puede usar directamente como un índice en la tabla de memorización. $X$ $X\setminus\{v\}$ $v$ $n$

Entonces: ¿Cuál es el tiempo de ejecución asintótico real del algoritmo Bellman-Held-Karp?

ds.algorithms machine-models computing-over-reals

— Jeffε
fuente

Su enlace de "cosas extrañas" está roto.

— Tyson Williams

Arreglé el enlace.

— Jeffε

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Esta es una respuesta menos matemática que filosófica, pero prefiero pensar en un modelo RAM que permita la manipulación en tiempo constante de enteros con algún número B de bits que es desconocido pero al menos tan grande como , donde S es la cantidad de espacio que requiere el algoritmo. Porque, si los números enteros no fueran tan grandes, ¿cómo podrías siquiera abordar tu memoria? Para los algoritmos de tiempo y espacio polinómicos es lo mismo que los bits O (log n), pero para los algoritmos de espacio exponencial evita el problema. $\log_2 S$

Por supuesto, si S excede la cantidad de memoria que realmente tiene, su algoritmo no se ejecutará en absoluto. O bien, se ejecutará paginando información dentro y fuera de la memoria y debería usar un modelo de jerarquía de memoria en lugar del modelo de RAM.

— David Eppstein
fuente

Estoy acostumbrado a la idea de que el modelo de máquina debería depender del tamaño de entrada

, pero hay algo un poco inestable en dejar que el modelo de máquina dependa del algoritmo. ¿Realmente quieres dejar que tu máquina resuelva cualquier problema en PSPACE en tiempo constante, siempre y cuando ya estés usando espacio exponencial?

n

$n$

— Jeffε

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Para mí, es menos una cuestión de hacer que el modelo varíe dependiendo del algoritmo, y más una cuestión de tener un modelo que sea fijo pero que no sea capaz de ejecutar todos los algoritmos (porque se queda sin espacio). Para mí, eso no suena tan diferente de las computadoras reales.

— David Eppstein

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No estoy convencido por la respuesta de David. Hay dos problemas aquí. Uno es teórico, el otro práctico. En el contexto teórico, es más natural ser preciso sobre el modelo y analizar el tiempo de ejecución de manera adecuada. En la configuración práctica, no es fácil saber si uno realmente se quedaría sin memoria en una instancia en particular debido a varias optimizaciones que uno puede hacer (y hacer una memorización parcial, etc.), sin embargo, al implementar el algoritmo tendremos que lidiar con cómo almacenamos los conjuntos e indexamos en ellos. El modelo anterior no ayuda a este respecto.

— Chandra Chekuri

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Hay una discusión sobre este tema en el reciente libro de Fedor V. Fomin y Dieter Kratsch " Algoritmos exponenciales exactos " donde especifican el tiempo de ejecución en el modelo de RAM de costo unitario y el modelo de RAM de costo logarítmico ( - la distancia máxima entre las ciudades y si ): $W$ $f(n)=\mathcal{O}^{\ast}(g(n))$ $f(n)=\mathcal{O}(g(n)poly(n))$

y (nota,), respectivamente. $\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$ $2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}$ $2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}\notin\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$

— Oleksandr Bondarenko
fuente

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Entonces esquivan el problema ocultando el factor polinomial. ¡Quiero saber cuál es el factor polinómico!

— Jeffε

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Asumen que el factor polinomial es

(ver el enlace en mi comentario).

n^{2}

$n^2$

— Oleksandr Bondarenko