complejidad de un problema de promesa de satisfacción de restricciones

(Este es el "extremo superior" de mi pregunta de hace más de 10 meses en cs.stackexchange.
Esa pregunta y el "extremo inferior" Pregunté aquí hace más de 8 meses ,
lo que también tengo una recompensa por, son a la vez sin respuesta.
Estos son capturas de pantalla de cómo debería verse esta publicación, en caso de que no se muestre correctamente.)

comienzo de la Sección de Motivación:

Comencé a preguntarme si el teorema de dicotomía de Schaefer
se puede extender a restricciones de promesa Como parte de eso, busqué
la restricción de promesa más simple para la cual la respuesta no es trivial:

Para evitar que el teorema de Schaefer ya se aplique, debe haber al menos una tupla de entrada para la cual la promesa falla. Por la misma razón que ese teorema, todo verdadero y todo falso debe dar NO, y debe haber más de una entrada que dé SÍ. En particular, debe haber más de cuatro entradas posibles, por lo que la restricción de promesa debe ser de al menos 3 variables. Para obtener una simple , suponga que está sobre exactamente 3 variables y es simétrica, es decir, depende solo de cuántasde sus entradas son verdaderas, no cuáles son esas. En ese caso, 2-verdadero da SÍ y la promesa falla para 1-verdadero, de 1-verdadero da SÍ y la promesa falla para 2-verdadero. Simplemente volteando cada variable, son equivalentes, por lo que para proporcionar una declaración formal más corta y un nombre "más agradable", usaré la última, es decir, exactamente-1-verdadero da SÍ y la promesa falla para 2-verdadero.

final de la sección de motivación

Mi pregunta

Sea el " prometedor 1.2-en-3-SAT" el problema prometedor Las

entradas tienen la sintaxis de 3-SAT sin negaciones
deben dar SÍ si: la entrada es 1 en 3-satisfactoria
debe dar salida NO si : La entrada no es satisfactoria para NAE

.

¿Cuál es la complejidad de ese problema?

Puede elegir si una variable puede ocurrir dos veces en una sola restricción de promesa.

(Una variable que ocurra 3 veces en una sola restricción de promesa
lo convertiría automáticamente en una instancia de NO salida obligatoria).

Obviamente, la función de identidad es una reducción del problema prometedor a 1-en-3-SAT
positivo y NAE-SAT positivo, por lo que GC (O (m), coNLOGTIME ) puede resolver el problema de la promesa.
Sin embargo, hay una observación aparentemente trivial que conduce a una
obstrucción combinatoria a pruebas de dureza NP "simples" para 1.2-en-3-SAT positivo:

para cualquier conjunto de variables que cumpla al menos una restricción de promesa más de una vez,
no hay una asignación satisfactoria 1 en 3 en la que todas las variables sean verdaderas.
Por el contrario, para cualquier conjunto de variables que cumpla con cada restricción de promesa como máximo una vez, para cualquier
La asignación que satisface 1 en 3, posiblemente modificándola para que todas las variables en ese conjunto sean verdaderas da una asignación que satisface NAE. En particular, la disyunción de dos asignaciones que satisfacen 1 en 3
es siempre una asignación que satisface NAE. Para profundizar en las consecuencias de eso,
suponga que 1.2-en-3-SAT positivo tiene un dispositivo que implementa una restricción de promesa C, de modo que
el dispositivo "representa e interpreta las variables de C de la misma manera que el otro", es decir,

(correspondencia :) cada una de las variables de entrada de C corresponde
a un subconjunto ordenado de las variables en el gadget
y
(de manera similar :) esos subconjuntos son del mismo tamaño entre sí; Voy a llamar a ese tamaño j
y
(representa :) hay una función desde el dominio de las variables de C a {false, true}^j tal que para cada entrada SÍ a C, hay es una asignación de 1 en 3 que satisface al gadget de tal manera que para cada una de las variables de entrada x de C, [la asignación a las variables del gadget x corresponde en su orden] es (x) y (interpreta :) allí es una función $forward$
^{$\hspace{.02 in}$}

$forward$

$backward$ Desde {False, True}^j al dominio a las variables de C de modo que para cada asignación que satisfaga NAE al gadget, [estableciendo cada una de las variables de entrada de C x [ del gadget correspondiente de [x variables- en su orden]]] no no causa C para dar nO^{$\hspace{.02 in}$}
$backward$

. En ese caso, para cada una de las variables x e y de C, si C tiene una entrada SÍ tal que (x, y) = (a, b) y
una entrada SÍ tal que (x, y) = (b, a), entonces tiene una entrada tal que x = y pero no da NO.
En particular, tales dispositivos ni siquiera pueden implementar colores prometedores .

Además, el complemento de una asignación que satisface 1 en 3 es siempre una asignación que satisface NAE, lo que impone restricciones más débiles en los tipos de dispositivos que podría tener 1.2-en-3-SAT positivo.

¿Se sabe algo más acerca de la posibilidad de que 1.2-en-3-SAT positivo sea
"CSP-complete" como 3-SAT y positivo 1-en-3-SAT y NAE-SAT positivo ,
es decir, tener dispositivos para cada restricción posible ?

En particular, la es el número de promesa limitaciones, lo que demuestra que el problema está en la promesa promesa co QIP [2] T IME 2 ^O^{(m )} q 2 ^o^(m) para infinitos sería más que suficiente. $m$ $\hspace{-0.03 in}\big(\hspace{-0.04 in}$ $\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.04 in}\big/\hspace{-0.04 in}$ $m$

np-hardness csp promise-problems

— Comunidad
fuente

Digamos que se nos da una expresión booleana F en 3-CNF, donde ninguno de los literales se niega. Ok ... Se nos promete que siempre hay una solución, ya que desea que sea SÍ = 1 en 3-SAT y NO = NAE-SAT. Sin embargo, lo que falta es que F podría ser 1-en-3-SAT y NAE-SAT al mismo tiempo. Por ejemplo, puede tener una asignación de verdad satisfactoria, donde se cumple exactamente 1 literal por lo que es 1-en-3-SAT, pero esto también lo coloca en NAE-SAT ya que los literales de todas las cláusulas no son todos verdaderos o Falso.

— Tayfun Pay

¿Qué tal SÍ = 1 en 3 SAT, NO = 2 en 3 SAT. ? :-)

— Tayfun Pay

"Esto también lo pone en NAE-SAT", lo que significa que no es NAE-satisfactoria, por lo que no veo el problema con lo que escribí.

Si. Acabo de ver que quieres ~ NAE-SAT ... Así que quieres que todos los literales de cada cláusula sean verdaderos o falsos. ¿Correcto?

— Tayfun Pay

Toda parte verdadera no es factible a menos que tenga negaciones ... Y la misma variable dos veces con polaridad opuesta dentro de la misma cláusula.

— Tayfun Pay

En cuanto a la pregunta de si el teorema de dicotomía de Shaefer (o más generalmente, la conjetura de Feder-Vardi, recientemente probada por Bulatov y Zhuk ) puede generalizarse para prometer problemas: la complejidad de los CSP prometedores es actualmente un tema de investigación candente. Todavía está muy abierto si existe tal dicotomía incluso para PCSP booleanos. Sin embargo, se conocen resultados parciales, en particular Brakensiek y Guruswami [1] demuestran la dicotomía para PCSP booleanos simétricos que permiten la negación de variables.

En particular, el problema "1.2-en-3-SAT" se puede resolver en tiempo polinómico, incluso si permitimos literales negativos, por el Teorema 2.6 en [1], ya que tiene las funciones de umbral alterna como polimorfismos débiles. El documento da de hecho dos algoritmos diferentes. $x_1-x_2+x_3-\dots-x_{L-1}+x_L$

Algoritmo 1:

Sea la entrada -CNF. La identificación de los literales negativos con , deja sea el sistema lineal que consiste en las ecuaciones para cada cláusula . Usando, por ejemplo, un algoritmo de tiempo polinómico para las formas normales de Hermite, calcule una solución entera de si existe. $C$ $3$ $\overline{x_i}$ $1-x_i$ $L_C$

u + v + w = 1

$u+v+w=1$

{u, v, w} \in C

$\{u,v,w\}\in C$

(x_{1}, \dots, x_{n})

$(x_1,\dots,x_n)$

L_{C}

$L_C$

Si no hay solución, entonces no es 1 en 3 satisfactoria. $C$

Si hay una solución, entonces define una asignación de satisfactoria para NAE .

x_{i}^{'} = {\begin{cases} 1 & x_{i} \geq 1, \\ 0 & x_{i} \leq 0 \end{cases}

$x'_i=\begin{cases}1&x_i\ge1,\\0&x_i\le0\end{cases}$

C

$C$

(Ambas afirmaciones son fáciles de verificar).

Algoritmo 2:

Sea el programa lineal que consta del sistema lineal anterior y los límites para todas las variables . $P_C$ $L_C$

0 \leq x_{i} \leq 1

$0\le x_i\le1$

x_{i}

$x_i$

Si para algunos , ni ni es factible, entonces no es 1 en 3 satisfactorio. (Esto es obvio) $i$ $P_C\cup\{x_i=0\}$ $P_C\cup\{x_i=1\}$ $C$

De lo contrario, es NAE-satisfactoria. (Esto requiere algo de trabajo para probar, ver §3.2 en [1]). $C$

El correspondiente problema de búsqueda promesa es resoluble en tiempo polinómico, así: dado un 1-en-3-satisfiable -CNF , calcular una asignación de NAE-satisfacer a . El algoritmo 1 hace exactamente eso; El documento menciona que el Algoritmo 2 también puede extenderse para producir esto. $3$ $C$ $C$

Referencia:

[1] Joshua Brakensiek y Venkatesan Guruswami, Promesa Restricción Satisfacción: Estructura algebraica y una dicotomía simétrica booleana , arXiv: 1704.01937 [cs.CC].

— Emil Jeřábek
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