Evaluar circuito booleano en lote de entradas similares

Supongamos que tengo un circuito booleano que calcula alguna función . Suponga que el circuito se compone de AND, OR y NO compuertas con entrada y salida de ventilador como máximo 2. $C$ $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$

Sea una entrada dada. Dado y , quiero evaluar en las entradas que difieren de en una posición de un solo bit, es decir, para calcular los valores donde es lo mismo que excepto que es $x \in \{0,1\}^n$ $C$ $x$ $C$ $n$ $x$ $n$ $C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ $x^i$ $x$ $i$ El bit está volteado.

¿Hay alguna manera de hacer esto que sea más eficiente que evaluar independientemente veces en las entradas diferentes? $C$ $n$ $n$

Suponga que contiene puertas. Luego, evaluar independientemente en todas las entradas llevará tiempo . ¿Hay alguna manera de calcular en el tiempo ? $C$ $m$ $C$ $n$ $O(mn)$ $C(x^1),C(x^2),\dots,C(x^n)$ $o(mn)$

Contexto opcional: si tuviéramos un circuito aritmético (cuyas puertas son multiplicación, suma y negación) sobre , entonces sería posible calcular las derivadas direccionales $\mathbb{R}$ $n$ entiempo. Básicamente, podríamos usar métodos estándar para el cálculo del gradiente (regla de propagación hacia atrás / cadena), en el tiempo. Eso funciona porque la función correspondiente es continua y diferenciable. Me pregunto si se puede hacer algo similar para los circuitos booleanos. Los circuitos booleanos no son continuos y diferenciables, por lo que no puedes hacer el mismo truco, pero ¿quizás hay alguna otra técnica inteligente que puedas usar? ¿Tal vez algún tipo de truco de Fourier, o algo así? ${\partial f \over \partial x_i}(x)$ $O(m)$ $O(m)$

(Pregunta variante: si tenemos puertas booleanas con entrada y salida sin límites, ¿puede hacerlo asintóticamente mejor que evaluar veces?) $C$ $n$

— DW
fuente

Como Andrew respondió su pregunta bastante bien, solo dejaré un comentario. Si

es grande (como

) y está evaluando

en muchas entradas (hasta

), entonces hay una

de tamaño solo

que puede evaluar

en cualquier

m

$m$

O (2^{n} / n)

$O(2^n/n)$

C

$C$

2^{o (n / \log n)}

$2^{o(n/\log n)}$

C^{'}

$C'$

O (2^{n} / n)

$O(2^n/n)$

C

$C$

m

$m$ entradas (El problema también se denomina "producción en masa" en la literatura). Ver Uhlig, "Sobre la síntesis de esquemas de autocorrección a partir de elementos funcionales con un pequeño número de elementos confiables". Math.Notes Acad.Sci. URSS 15, 558-562. Entonces, en algunos casos, puede hacerlo mejor sin uniformidad.

— Ryan Williams el

Consideraría poco probable que tal truco sea fácil de encontrar y / o le brinde ganancias significativas, ya que daría algoritmos de satisfacción no triviales. Así es cómo:

$C$ $N$ $x_0, \ldots, x_{N-1}$ $C$ $\tilde{O}(N\cdot|C|)$ $C$ $C'$ $|C| + \tilde{O}(Nn)$ $0^i10^{N-1-i}$ $C(x_{i})$ $0^i10^{N-1-i}$ $x_i$ $C$

$\tilde{O}(|C|^{2-\epsilon} + (N\cdot|C|)^{1-\epsilon/2} + N^{2-\epsilon})$ $\epsilon > 0$ $C$ $C$ $C'$ $2^{n/2}\cdot |C|$ $n/2$ $C$ $C'$ $2^{n/2}$ $C'$ $C$ $\tilde{O}(2^{(n/2)(2-\epsilon)}\cdot |C|^{2-\epsilon}) = \tilde{O}(2^{n(1-\epsilon/2)}\cdot \textrm{poly}(|C|))$

— Andrew Morgan
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