¿Cómo demostrar las relaciones entre "clases" de tipos?

Después de leer Efectos como Sesiones, Sesiones como Efectos , me preguntaba cómo podría tener lugar una prueba de equivalencia entre ambos, o incluso, una prueba de que los tipos de Sesiones son un Sistema de Tipo y Efecto.

De una manera más genérica, ¿cómo se puede probar una relación (por ejemplo, equivalencia) entre diferentes "clases" * de tipos? ¿Sería suficiente esa prueba de expresividad realizada por Orchard y Yoshida?

[*]: No sé cómo definirlo correctamente, no quiero usar "tipos de tipos" o "tipos de tipos".

Un enfoque para tales preguntas es a través de codificaciones .

Digamos que tiene un idioma $L_1$ y un idioma $L_2$ y desea mostrar que de alguna manera son "iguales", puede hacer esto buscando una codificación

$$\newcommand{\SEMBTYPE}[1]{\ulcorner #1 \urcorner} \newcommand{\SEMB}[1]{\lbrack\!\lbrack #1 \rbrack\!\rbrack} \SEMB{\cdot} : L_1 \rightarrow L_2$$

y luego demuestre que para todos los programas cumple lo siguiente:$L_1$$M, N$

$$M \cong_1 N \qquad \text{iff} \qquad \SEMB{M_1} \cong_2 \SEMB{M_2}$$

Aquí es una noción elegida de equivalencia de programa para . Con el fin de hacer esto para lenguajes de tipos, uno mapas normalmente también -Tipos a por medio de una función que se extiende a entornos de escritura, tales que algo así se cumple lo siguiente:L i L 1 L 2 ⌜ $\cong_i$$L_i$$L_1$$L_2$$\SEMBTYPE{\cdot}$

⊢

$$\Gamma \vdash_1 M : \alpha \qquad \text{implies} \qquad \SEMBTYPE{\Gamma} \vdash_2 \SEMB{M} : \SEMBTYPE{\alpha}$$ Aquí es el juicio de tipeo para . Todo el enfoque se llama abstracción completa .$\vdash_i$$L_i$

Con el fin de evitar la "maldición de la universalidad de la Iglesia-Turing", uno típicamente impone condiciones en , por ejemplo, que es compositivo, o cerrado bajo cambio de nombre inyectivo. más condiciones , más fuerte será el resultado de la abstracción completa.$\SEMB{\cdot}$$\SEMB{\cdot}$

Esto también es lo que intentan hacer Orchard y Yoshida (Teoremas 1 a 5), ​​aunque no lo logran.