Se sabe que si , la jerarquía polinómica se colapsa en y .N P ⊆ P / P o l y Σ P 2 M A = A M
¿Cuáles son los colapsos más fuertes que suceden si ?N E X P ⊆ P / P o l y
Se sabe que si , la jerarquía polinómica se colapsa en y .N P ⊆ P / P o l y Σ P 2 M A = A M
¿Cuáles son los colapsos más fuertes que suceden si ?N E X P ⊆ P / P o l y
Respuestas:
Creo que el más fuerte es que N E X P = M A
Ver https://scholar.google.com/scholar?cluster=17275091615053693892&hl=es&as_sdt=0,5&sciodt=0,5
También me interesaría saber de colapsos más fuertes que este.
Editar (8/24): OK, pensé en un colapso potencialmente más fuerte, que esencialmente se desprende de las pruebas del documento vinculado anterior. Debido a que N E X P ⊂ P / p o l y implica N E X P = E X P (ver el enlace anterior), y E X P está cerrado bajo el complemento, también tenemos N E X P cerrado bajo el complemento y, por lo tanto, N E X P = M A ∩ c o M A
Edición 2: Parece que Andrew Morgan ya resaltó esto. Whoops :)
Suceden muchas cosas divertidas. La mayoría de las que conozco comienzan con el artículo de IKW . Allí, se muestra el colapso NEXP = MA
Lo más importante, creo, es la propiedad del "testigo sucinto universal" (también del documento de IKW). Por un lado, le brinda una herramienta de la cual muchos de los otros colapsos son consecuencias directas; para otro, los límites inferiores del circuito reciente (por ejemplo, aquí y aquí ) para NEXP
La brevedad de los testigos resulta útil, ya que puede derivar directamente muchos de los otros colapsos. Por ejemplo, se sigue trivialmente que NEXP = coNEXP = EXP
Vale la pena enfatizar que podemos elegir M
Para un lenguaje L ∈ N E X P
L∈NEXP decidido por una máquina MM , construya una máquina N E X PNEXP M 'M′ como sigue. Vea la entrada de nn bits como un número NN entre 11 y 2 n2n . Por cada xx de longitud nn , adivine un testigo w xwx y ejecute M ( x , w x )M(x,wx) para verificarlo. M ′ ( N )M′(N) acepta si y solo si MM acepta al menos NN valores de xx . Las conjeturas se organizan de tal manera que una descripción sucinta de un testigo para M 'M′ es un circuito CC que calcula el mapa ( x , i ) ↦(x,i)↦ el bit ii -ésimo de w xwx . Ahora suponga que N es precisamente el número de cadenas en L con una longitud n . Entonces testigos sucintas para M ' en la entrada N son circuitos que simultáneamente codifican todo deM's witnesses for length-n inputs. In particular, if M′ has succinct witnesses, then all of M's witnesses can be simultaneously described by the same circuit.To complete the claim, we'll recall that NEXP=PCP[poly,poly]. Letting M be the machine which guesses the PCP and then deterministically simulates the verifier, the above paragraph tells us the existence of simultaneously succinctly describable PCPs for every language in NEXP. So now to get NEXP=OMA, we have Merlin send the succinct description of the PCPs for all inputs of the current input length, which Arthur can check by just plugging in his input and then running the PCP verifier.
[Thanks to Cody Murray for pointing out the trick of using the input to count the number of strings in L. Previously I had M′ use that if NEXP⊆P/poly then NEXP=EXP to write down the truth table of L, but Cody's strategy is more elegant.]
As a final note, while technically implied by NEXP=MA, the collapse NEXP=PSPACE has another interesting implication. It's known that PSPACE has a complete language which is both downward self-reducible as well as random self-reducible. Ordinarily, all such languages sit inside PSPACE and so we shouldn't hope to say (unconditionally) that NEXP has such a complete language as long as we hope that NEXP≠PSPACE. However, if NEXP=PSPACE, then NEXP does have such complete languages. A similar statement (replacing NEXP by EXP) was used by Impagliazzo and Wigderson to conclude a sort of "derandomization dichotomy" for BPP in relation to EXP, so it may be useful in discovering other consequences of NEXP⊆P/poly.