P / Poly vs Clases de Complejidad Uniforme

No se sabe si NEXP está contenido en P / poli. De hecho, probar que NEXP no está en P / poli tendría algunas aplicaciones en la desrandomización.

¿Cuál es la clase C uniforme más pequeña para la cual se puede demostrar que C no está contenido en P / poli?
¿Mostrar que co-NEXP no está contenido en P / poly tiene algunas otras consecuencias teóricas de complejidad como en el caso de NEXP vs P / poly?

Nota: Soy consciente de que se sabe que $SP_2$ no está contenido en $Size[n^k]$ para cada constante fija $k$ (Esto también se mostró para MA con 1 bit de consejo). Pero en esta pregunta no me interesan los resultados para fijo $k$ . Estoy realmente interesado en clases que son diferentes de P / Poly, incluso si estas clases son muy grandes.

complexity

— Springberg
fuente

Básicamente, está solicitando un problema con los límites inferiores del tamaño superpolinómico para los circuitos generales.

— Kaveh

{M A}_{e x p}

$\mathsf{MA}_\mathrm{exp}$ sabe que

no está en

P / p o l y

$\mathsf{P/poly}$ . Vea elartículo de Wikipediapara una breve prueba.

— Robin Kothari

P / poly está cerrado debajo del complemento, por lo que contiene NEXP si y solo si contiene coNEXP.

— Emil Jeřábek

Emil, Robin y Andrew, gracias por sus respuestas. Creo que mi pregunta puede considerarse respondida ahora. ¿Alguien lo escribiría en una respuesta para que yo pueda aceptarlo?

— Springberg

Creo que

M A_{e x p}

$MA_{exp}$ es la clase uniforme más pequeña con límites inferiores superpolinomiales conocidos ( people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/nonrel.pdf ), y que

O_{2}^{P}

$O^P_2$ es la más pequeña con polinomios arbitrarios inferiores límites ( citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/… ).

— Alex Golovnev

$\let\mr\mathrm$ $C$ $C\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$ $C$ $\mr{P/poly}$

Permítanme decir que es un enlace superpolinómico si es construible en el tiempo, y . Por ejemplo, es un enlace superpolinómico. De hecho, un ejercicio instructivo muestra que si es una función computable monótona ilimitada, hay un enlace superpolinomial tal que . $f\colon\mathbb N\to\mathbb N$ $f(n)=n^{\omega(1)}$ $n^{\log\log\log\log n}$ $g(n)$ $f$ $f(n)\le n^{g(n)}$

Primero, la diagonalización directa muestra que para cualquier . El mismo argumento da: $\Sigma_4^P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Si es un enlace superpolinomial, entonces . $f$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Bosquejo de prueba: para cualquier , deje que sea el primer circuito lexicográfico de tamaño que calcule una función booleana en variables no computables por un circuito de tamaño . Entonces, el lenguaje definido por funciona. $n$ $C_n$ $2f(n)$ $n$ $<f(n)$ $L$ $x\in L\iff C_{|x|}(x)=1$

Una mejora bien conocida establece que para cualquier . Igualmente, $S_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Si es un enlace superpolinomial, entonces . $f$ $S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Esbozo de prueba: Si no, entonces, en particular, , por lo tanto . Por un argumento de relleno, , quod non . $\mr{NP}\subseteq S_2\mr P\subseteq\mr{P/poly}$ $\mr{PH}=S_2\mr P$ $\Sigma_4\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq S_2\text-\mr{TIME}(f(n))\subseteq\mr{P/poly}$

Las clases ajenas lo hacen aún mejor. Teniendo en cuenta la objeción planteada por Apoorva Bhagwat, dejemos . Entonces para cualquier , y el mismo argumento arroja: $\mr{NLin=NTIME}(n)$ $\mr{NLin}\cup O_2\mr P\nsubseteq\mr{SIZE}(n^k)$ $k$

Si es un enlace superpolinomial, entonces . $f$ $\mr{NLin}\cup O_2\text-\mr{TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

Esbozo de prueba: Si , entonces por relleno, , lo que implica . Luego procedemos como antes. $\mr{NLin\subseteq P/poly}$ $\mr{NP\subseteq P/poly}$ $\mr{PH}=O_2\mr P$

También hay resultados que involucran MA. El resultado mencionado a menudo de que es una exageración. Santhanam demostró para cualquier , y un argumento similar da: $\mr{MA\text-EXP\nsubseteq P/poly}$

p r o m i s e - M A \cap p r o m i s e - c o M A ⊈ S I Z E (n^{k})

$\mr{promise\text-MA\cap promise\text-coMA\nsubseteq SIZE}(n^k)$

k

$k$

Si es un enlace superpolinomial, entonces $f$
$p r o m i s e - M A - T I M E (f (n)) \cap p r o m i s e - c o M A - T I M E (f (n)) ⊈ P / p o l y .$ $\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}.$
Boceto de prueba: según el Lema 11 de Santhanam (que es una versión más precisa del hecho estándar de que con un probador PSPACE), hay un lenguaje completo de PSPACE y un oráculo de tiempo múltiple aleatorizado TM tal que en la entrada , solo realiza consultas oracle de longitud; si , entonces acepta con probabilidad ; y si , entonces para cualquier oráculo , acepta con probabilidad . $\mr{PSPACE=IP}$ $L$ $M$ $x$ $M$ $|x|$ $x\in L$ $M^L(x)$ $1$ $x\notin L$ $A$ $M^A(x)$ $\le1/2$

Para un polinomio monótono adecuado , que sea el problema prometedor definido por Sea una reducción polinómica de a su complemento, y sea el problema de la promesa $p$ $A=(A_{\mr{YES}},A_{\mr{NO}})$
$\begin{aligned} (x, s) \in A_{Y E S} & ⟺ \exists circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \land Pr [M^{C} (x) accepts] = 1), \\ (x, s) \in A_{N O} & ⟺ \forall circuit C (p (| C | + | x |) \leq f (| s |) \to Pr [M^{C} (x) accepts] \leq 1 / 2) . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in A_{\mr{YES}}&\iff\exists\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\land\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]=1\bigr),\\ (x,s)\in A_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff\forall\text{circuit }C\,\bigl(p(|C|+|x|)\le f(|s|)\to\Pr[M^C(x)\text{ accepts}]\le1/2\bigr). \end{align}$ $h(x)$ $L$ $B=(B_{\mr{YES}},B_{\mr{NO}})$ $\begin{aligned} (x, s) \in B_{Y E S} & ⟺ (x, s) \in A_{Y E S} \land (h (x), s) \in A_{N O}, \\ (x, s) \in B_{N O} & ⟺ (x, s) \in A_{N O} \land (h (x), s) \in A_{Y E S} . \end{aligned}$ $\begin{align} (x,s)\in B_{\mr{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{YES}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{NO}},\\ (x,s)\in B_{\rlap{\mr{NO}}\phantom{YES}}&\iff(x,s)\in A_{\mr{NO}}\land(h(x),s)\in A_{\mr{YES}}. \end{align}$ Si se elige adecuadamente grande, Entonces, supongamos por contradicción que tiene circuitos de tamaño polinómico, digamos, . Supongamos que denota el tamaño del circuito más pequeño que computa en las entradas de longitud , y pon ; más precisamente, Entonces $p(n)$ $si \in pags r o metro yo s mi - METRO UNA - T yo METRO mi (F (norte)) \cap pags r o metro yo s mi - C o METRO UNA - T yo METRO mi (F (norte)) .$ $B\in\mr{promise\text-MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{promise\text-coMA\text-TIME}(f(n)).$ $B$ $B\in\mr{SIZE}(n^k)$ $s(n)$ $L$ $n$ $t(n)=f^{-1}(p(s(n)))$ $t (norte) = min {metro : pags (s (norte)) \leq F (metro)} .$ $t(n)=\min\{m:p(s(n))\le f(m)\}.$ $x\mapsto(x,1^{t(n)})$ es una reducción de a , por lo tanto, , que significa Pero dado que es superpolinomial, tenemos . Esto da una contradicción para suficientemente grande. $L$ $B$ $L\in\mr{SIZE}(t(n)^k)$ $s (norte) \leq t (norte)^{k} .$ $s(n)\le t(n)^k.$ $f$ $t(n)=s(n)^{o(1)}$ $n$

Si preferimos un resultado con una versión no prometedora de MA, Miltersen, Vinodchandran y Watanabe demostraron para una media exponencial función . Podemos mejorarlo de dos maneras: primero, se cumple para - límites exponenciales para cualquier constante , y segundo, se cumple para las clases ajenas. Aquí, una función es, más o menos, una función tal que

METRO UNA - T yo METRO mi (F (norte)) \cap C o METRO UNA - T yo METRO mi (F (norte)) ⊈ PAGS / / pags o l y

$\mr{MA\text-TIME}(f(n))\cap\mr{coMA\text-TIME}(f(n))\nsubseteq\mr{P/poly}$

f

$f$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

k

$k$

\frac{1}{k}

$\tfrac1k$

f

$f$

\underset{k}{\underset{⏟}{f \circ \dots \circ f}} = \exp

$\underbrace{f\circ\dots\circ f}_k=\exp$ . Vea el documento de Miltersen – Vinodchandran – Watanabe y las referencias en el mismo para la definición precisa; involucra una familia de funciones bien comportadas , , de modo que , , y . Además, si y , entonces . Entonces nosotros tenemos:

e_{α} (x)

$e_\alpha(x)$

α \in R_{+}

$\alpha\in\mathbb R_+$

e_{0} (x) = x

$e_0(x)=x$

e_{1} (x) = e^{x} - 1

$e_1(x)=e^x-1$

e_{α + β} = e_{α} \circ e_{β}

$e_{\alpha+\beta}=e_\alpha\circ e_\beta$

f (n) \leq e_{α} (p o l y (n))

$f(n)\le e_\alpha(\mr{poly}(n))$

g (n) \leq e_{β} (p o l y (n))

$g(n)\le e_\beta(\mr{poly}(n))$

f (g (n)) \leq e_{α + β} (p o l y (n))

$f(g(n))\le e_{\alpha+\beta}(\mr{poly}(n))$

$\mr{OMA\text-TIME}(e_\alpha)\cap\mr{coOMA\text-TIME}(e_\alpha)\nsubseteq\mr{P/poly}$ para cualquier . $\alpha>0$

Bosquejo de prueba: suponga lo contrario. Arregle un entero tal que . Permítanme abreviar Al rellenar, tenemos para cualquier . Además, usando, por ejemplo, el Lema 11 de Santhanam anterior, tenemos la implicación Desde trivialmente , una aplicación repetida de (1) y (2) muestra , $k$ $1/k<\alpha$
$O C O METRO T (F) = O METRO UNA - T yo METRO mi (pags o l y (F (pags o l y (norte))) \cap C o O METRO UNA - T yo METRO mi (pags o l y (F (pags o l y (norte))) .$ $\mr{OcOMT}(f)=\mr{OMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n)))\cap\mr{coOMA\text-TIME}(\mr{poly}(f(\mr{poly}(n))).$ $\begin{matrix} (1) & O C O METRO T ({mi}_{β + 1 / / k}) \subseteq S yo Z mi ({mi}_{β} (pags o l y (norte))) \end{matrix}$ $\tag{1}\mr{OcOMT}(e_{\beta+1/k})\subseteq\mr{SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))$ $\beta\ge0$ $\begin{matrix} (2) & PAGS S PAGS UNA C mi \subseteq S yo Z mi ({mi}_{β} (pags o l y (norte))) ⟹ PAGS S PAGS UNA C mi \subseteq O C O METRO T ({mi}_{β}) . \end{matrix}$ $\tag{2}\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_\beta(\mr{poly}(n)))\implies\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_\beta).$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_1)$ $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-1)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-1)/k})$ , , , y así sucesivamente. Después de pasos, llegamos a Al usar el relleno una vez más, obtenemos que contradice los resultados anteriores , ya que es un enlace superpolinomial. $\mr{PSPACE\subseteq SIZE}(e_{(k-2)/k}(\mr{poly}(n)))$ $\mr{PSPACE\subseteq OcOMT}(e_{(k-2)/k})$ $k$ $PAGS S PAGS UNA C mi \subseteq PAGS / / pags o l y y PAGS S PAGS UNA C mi = O METRO UNA \cap C o O METRO UNA .$ $\mr{PSPACE\subseteq P/poly}\qquad\text{and}\qquad\mr{PSPACE=OMA\cap coOMA}.$ $re S PAGS UNA C mi ({mi}_{1 / / k}) \subseteq O C O METRO T ({mi}_{1 / / k}) \subseteq PAGS / / pags o l y,$ $\mr{DSPACE}(e_{1/k})\subseteq\mr{OcOMT}(e_{1/k})\subseteq\mr{P/poly},$ $e_{1/k}$

— Emil Jeřábek
fuente

Como nadie publicó una respuesta, responderé la pregunta yo mismo con los comentarios publicados en la pregunta original. Gracias a Robin Kothari, Emil Jerabek, Andrew Morgan y Alex Golovnev.

$MA_{exp}$ parece ser la clase uniforme más pequeña con límites inferiores superpolinomiales conocidos.

$O_2^P$ parece ser la clase más pequeña conocida que no tiene circuitos de tamaño para cada fijo . $n^k$ $k$

Por diagonalización, se deduce que para cualquier función súper polinomial (y construible en espacio) , no tiene circuitos de tamaño polinómico. versus todavía está abierto. $s$ $DSPACE[s(n)]$ $PSPACE$ $P/poly$

$P/poly$ está cerrado debajo del complemento, por lo que contiene si y solo si contiene . $NEXP$ $coNEXP$

— Springberg
fuente

Por favor, corríjanme si me equivoco, pero por lo que puedo decir, que en realidad no conocemos un tamaño fijo-polinomio cota inferior para . Esto se debe a que el argumento habitual de Karp-Lipton no se a , ya que no sabemos si (de hecho, esto es equivalente a preguntar si ). Sin embargo, sabemos que no está contenido en para ninguna , como lo muestran Chakaravarthy y Roy. $O_2^P$ $O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq O_2^P$ $\textsf{NP}\subseteq \textsf{P/poly}$ $\textsf{NP}^{O_2^P}$ $\textsf{SIZE}(n^k)$ $k$

— Apoorva Bhagwat
fuente