"Coloración hipergráfica completamente diferente" - ¿problema conocido?

Estoy interesado en el siguiente problema: dado un conjunto X y los subconjuntos X_1, ..., X_n de X, encuentre una coloración de los elementos de X con k colores de manera que los elementos en cada X_i sean todos de colores diferentes. Más específicamente, estoy mirando el caso donde todos los X_i son de tamaño k. ¿Es esto conocido en la literatura con algún nombre? Estoy buscando caracterizaciones de instancias coloreables y resultados de complejidad (P vs. NP-hard). Por ejemplo, para k = 2, las instancias colorables corresponden a gráficos bipartitos y, por lo tanto, el problema puede resolverse en tiempo polinómico.

Creo que esto se conoce en la literatura como el problema de encontrar una coloración k fuerte para una hipergrafía k-uniforme. Este debería ser un buen lugar para comenzar: [PDF] .

También es, como máximo, tan difícil como colorear una gráfica , donde se forma al convertir cada en una camarilla. Su restricción de que todas las son de tamaño significa que puede cubrir cada borde de con una camarilla en vértices.G = ( X , E ) E X i X i k G $k$$G=(X,E)$$E$$X_i$$X_i$$k$$G$$k$

$k$$G = (V,E)$$e = \{u,v\}$$X_e = \{ u, v, x(e,3), x(e,4), \dotsc, x(e,k) \}$$x(e,j)$$k$$G$

Un colorante en el que cada hiperedge es policromático (o arcoíris ) también se conoce como un colorante fuerte .

Tenga en cuenta que una fuerte coloración de una hipergrafía es precisamente una coloración adecuada del gráfico de Gaifman de la hipergrafía. (El gráfico de Gaifman (o gráfico primario o 2 secciones ) de una hipergrafía se forma agregando bordes entre dos vértices que aparecen juntos en alguna hiperedificación).

$k$$r$$H$$k$$H$$r=2$$k=2$$k\ge 3$$r <2$$k\lt r$

$C$$D$