Aceleración no determinista del cálculo determinista


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¿Puede el no determinismo acelerar el cálculo determinista? Si es así, ¿cuánto?

Al acelerar el cálculo determinista por el no determinismo me refiero a los resultados de la forma:

DTime(f(n))NTime(n)

Por ejemplo, algo como

DTime(n2)NTime(n)

¿Cuál es el resultado de aceleración más conocido del cálculo determinista por no determinismo? ¿Qué hay de ΣkPTime(n) o incluso ATime(n) en lugar de NTime(n) ?

Suponga que las clases de complejidad se definen utilizando máquinas de Turing de cinta múltiple para evitar las peculiaridades bien conocidas de las máquinas de Turing de cinta única de tiempo subcuadrático.


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(Por el Teorema 4.1 y el Teorema Tiempo Jerarquía, su ejemplo no se puede mantener durante los TM-1 de cinta.)

Respuestas:


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No debe esperar una aceleración emocionante. Tenemos

DTIME(f(n))NTIME(f(n))ATIME(f(n))DSPACE(f(n)),

y la simulación más conocida del tiempo determinista por el espacio sigue siendo el teorema de Hopcroft-Paul-Valiant

DTIME(f(n))DSPACE(f(n)/logf(n)).

Por lo tanto, no se sabe que el no determinismo o la alternancia aceleren en más de un factor logarítmico. (Sospecho que tampoco se conoce una aceleración superlineal, aunque no estoy seguro de si el teorema del VPH no puede funcionar con ATIME en lugar de DSPACE).


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Para máquinas Turing en línea de una cinta, es folklore que . NTIME(n)DSPACE(n)
Michael Wehar

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Para las máquinas de Turing de dos cintas, tenemos como se indicó anteriormente. DTIME(n)DSPACE(n/log(n))
Michael Wehar

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La pregunta es sobre las máquinas de Turing multitapa.
Emil Jeřábek apoya a Monica el

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Solo quería proporcionar una aclaración adicional para el lector interesado.
Michael Wehar

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Por Paul-Pippenger-Szemerédi-Trotter, la primera inclusión es para el caso especial donde f ( n ) = n . DTIME(f(n))NTIME(f(n))f(n)=n
András Salamon

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Hay dos conceptos distintos:

(1) Simulación eficiente de máquinas deterministas por máquinas no deterministas.

(2) Acelere los resultados que se obtienen aplicando una simulación una y otra vez.

No conozco ninguna simulación eficiente de máquinas deterministas por máquinas no deterministas, pero sí sé de varios resultados de aceleración que podrían usarse si existen simulaciones eficientes.

Considere la clase de lenguajes que son decidibles por una máquina Turing no determinista que se ejecuta por tiempo t ( n ) utilizando solo g ( n ) conjeturas no deterministas. En otras palabras, la longitud del testigo está limitada por g ( n ) .NTIGU(t(n),g(n))t(n)g(n)g(n)

Si tiene una simulación más eficiente usando solo conjeturas no deterministas, entonces creo que puede acelerarlo un poco. En particular, creo que puedes probar lo siguiente:log(n)

Si , entonces D T I M E ( 2 DTIME(nlog(n))NTIGU(n,log(n)).DTIME(2n)NTIME(n)

Si encuentra esto interesante, entonces puedo escribir la prueba.

Ryan Williams introdujo algunas aceleraciones relacionadas en "Mejorar la búsqueda exhaustiva implica límites inferiores superpolinomiales".


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Como puede ver, es una suposición bastante grande y es bastante razonable que pueda probar que la hipótesis es falsa . Deja me saber si lo haces. :)DTIME(nlog(n))NTIGU(n,log(n))
Michael Wehar

@AndrasSalamon: ¿Cómo se se siguen de búsqueda exhaustiva?

@RickyDemer tienes razón, no lo hace; Han eliminado los comentarios. Estaba suponiendo implícitamente que el no determinismo estaba al final del cálculo, pero debería suponerse que estaba al principio.
András Salamon

Actualización: Finalmente comencé a escribir el resultado de aceleración propuesto que mencioné. Parece ser un poco diferente a otros resultados de aceleración que encontré. No dude en responderme o enviarme un correo electrónico si está interesado en discutir. ¡Gracias! :)
Michael Wehar

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sin duda echaría un vistazo, este es un enfoque intrigante.
András Salamon

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Aquí hay una explicación de por qué sería difícil probar una aceleración no determinista cuántica general de la computación determinista, incluso si es verdadera:

Suponga que se cumple una aceleración no determinista cuántica general de la computación determinista como . En aras de la contradicción, suponga que S A TD T i m e ( o ( n 2 / lg n ) ) . Hay una reducción de tiempo cuadrático de cualquier problema en N T i m e ( nDTime(n4)NTime(n)SATDTime(o(n2/lgn))NTime(n)SATDTime(n4)DTime(o(n4/lgn))

SAT

DTime(n4)NTime(n)SATDTime(o(n2/lgn))

SAT

f(n)

DTime(f(n2))NTime(n)SATDTime(o(f(n)/lgn)).

(If in place of SAT we pick a problem which is hard for NTime(n) under linear-time reductions then this would give f(n)/lgn lower bound for that problem. If we fix the number of the machine tapes to some k2 then we can use Fürer's time hierarchy theorem which does not have the lgn factor.)


Since we don't even know that SAT is not in DTime(n), we don't know an ω(nlgn)2 speed-up.
Kaveh
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