¿Puedes explicar una intuición detrás de los espacios coherentes?

La lógica lineal se interpreta utilizando espacios coherentes , y ocupan un lugar destacado en los documentos de Girard. Conozco las tres formas principales de definirlas formalmente, y realmente no plantean ningún problema para usar y probar cosas, pero no puedo entender lo que significan .

Realmente parece que hay algún tipo de forma de entenderlos . En primer lugar, hay algunos ejemplos sobre ellos que usan funciones en booleanos (como en un wiki en alguna parte ). Y sugiere algo interesante y significativo detrás de la definición formal. Sin embargo, booles un espacio coherente muy simple, sin una camarilla de tamaño > 1. ¿Alguien puede dar más detalles?

Otra cosa que Girard dice en alguna parte es que cada punto de un espacio coherente representa una "secuencia de preguntas / respuestas" específica, con dos puntos coherentes si "se bifurcan negativamente (es decir, en preguntas diferentes)", e incoherente si se bifurcan en respuestas diferentes [1] Parece una idea fácil de entender, pero no puedo inventar un ejemplo, así que realmente no lo entiendo ...

¿Podría alguien ayudarme con eso?

[1] JY Girard, El fantasma de la transparencia . URL: http://iml.univ-mrs.fr/~girard/longo1.pdf

lo.logic linear-logic

— valya
fuente

¿Has revisado el papel de lógica lineal original de Girard ?

— Kaveh

@Kaveh Lo hojeé (rápidamente) pero no parece ofrecer nada que "The Blind Spot" no tenga (que leí) ... Tiene definición, pero no ninguna metáfora / interpretación / explicación.

— valya

Ha pasado mucho tiempo desde que los vi, pero creo que si realmente quieres entender de dónde provienen, debes volver para completar el álgebra de Heyting y la semántica de dominio intuitivo de lógica de Scott. Los dominios (dcpo) se usan generalmente para expresar información parcial, dos elementos x e y son compatibles si su información se puede combinar, es decir, {x, y} tiene un sup. La coherencia es solo esta compatibilidad de información. (Creo que vale la pena leer el artículo de Linear Logic para comprender de dónde vienen las ideas de Girard.)

— Kaveh

Eso suena sobre lo que debería hacer, con dominios, sí ... ¡Gracias! Voy a vagar en esa dirección y luego, si nadie responde, tal vez algún día escriba la respuesta yo mismo.

— valya

(Y también echaré un buen vistazo en el papel, gracias, resulta que me pasé la mala)

— valya

Respuestas:

La intuición detrás de los espacios de coherencia es que los elementos de un espacio de coherencia representan observaciones de algunos datos subyacentes, y la relación de coherencia le dice si dos observaciones podrían provenir del mismo dato.

Concretamente, supongamos que tenemos un conjunto de animales

Animals = {cat, duck, fish}

Ahora, podemos tener un conjunto de observaciones:

Observations = {warm-blooded, swims, water-breathing, furry}

Digamos que dos observaciones son compatibles si ambas pudieran hacerse del mismo animal. Cada observación es compatible consigo misma, y además:

de sangre caliente peludo $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$
sangre nada $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$
de sangre caliente peludo $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$
nada respirando agua $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$

Sabemos que ser de sangre caliente es compatible con la natación, porque los patos son de sangre caliente y nadan. Pero ser de sangre caliente y respirar agua no son compatibles, ya que no tenemos animales que sean de sangre caliente y respiren agua.

Observations $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$ Observations $\stackrel{{\large\frown}}{{\small\smile}}$

— Neel Krishnaswami
fuente

pero según tengo entendido, el valor del tipo Observationssería una camarilla, por lo tanto, no una observación, sino un conjunto de ellos. así que es más [Observation], ¿verdad? lo mismo con Animals(las camarillas serían singletones, pero aún así) ...

— valya 02 de

por supuesto, ni siquiera exactamente [Observation], pero aún así ... Tengo problemas para encontrar un ejemplo en el que una camarilla que no sea singleton tenga sentido

— valya

Siempre tuve problemas para formar una intuición para los espacios de coherencia, hasta que me familiaricé más con la teoría de dominios y leí "El sistema F de tipos variables, de Girard, quince años después". Los espacios de coherencia son solo un tipo especial de dominio, y me resultó mucho más fácil entender qué significa coherencia a partir de ahí. Trataré de dar una explicación que tenga más o menos sentido para mí.

Imagine que desea estudiar programas que llevan entradas enteras a salidas enteras. En general, estos programas pueden repetirse para siempre, por lo que tiene sentido modelarlos matemáticamente como funciones parciales de enteros a enteros: si el programa se repite, la función parcial correspondiente no está definida en esa entrada. Podemos ver una función ftan parcial como un gráfico : un conjunto de pares de enteros (n, m)tal que fse define en ne igual a m. Esto nos permite representar estas funciones como un espacio de coherencia:

La red del espacio de coherencia es el conjunto de pares de enteros (n, m).
Dos pares (n, m)y (n', m')son coherentes si y solo si ny n'son diferentes, o my m'son iguales.

Al desempacar las definiciones, vemos que cada camarilla de este espacio de coherencia es el gráfico de funciones parciales, y viceversa. Podemos interpretar la relación de coherencia como diciendo que, una función parcial se define en una entrada, solo produce un resultado para esa entrada. Si está acostumbrado a otros tipos de semántica teórica de dominio, la inclusión de camarillas corresponde al orden habitual de Scott en funciones parciales en enteros.

— Arthur Azevedo De Amorim
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