# P-problema completo cuya versión de decisión está en P

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1) ¿Es posible tener una reducción parsimoniosa de un problema # P completo #A a un problema de conteo #B cuando (la versión de decisión) A es NP-completa y B está en P?

Por ejemplo, ¿puede haber una reducción parsimoniosa de #SAT a #B, cuando B está en P?

2) Si B está en P, ¿cuáles son las diferentes posibilidades para la complejidad de #B?

cc.complexity-theory complexity-classes counting-complexity

— marjoonjan
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Si insiste en reducciones parsimoniosas (donde se preserva el número de soluciones), no puede tener tal reducción a menos que P = NP porque el algoritmo de decisión para el no vacío de soluciones para B le dará un algoritmo de decisión para el no vacío de soluciones para R. Por otro lado, si permite otro tipo de reducciones, puede tener ese caso. Por ejemplo, Valiant demostró que #SAT se reduce al problema de contar emparejamientos perfectos en un gráfico bipartito: la reducción comienza con una fórmula CNF y construye un gráfico bipartito cuyo número de emparejamientos perfectos mod es multiplicado por el número de asignaciones satisfactorias de , donde $F$ $G$ $2^{8m}+1$ $4^m$ $F$ $m$ $F$ $F$ $G$

Vea el Capítulo 18 en el libro "Complejidad computacional" de Papadimitriou para una exposición clara de esto.

— Slimton
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La respuesta a la pregunta 2 es que la complejidad del problema de conteo #B puede ser básicamente cualquier cosa (ni siquiera necesariamente computable). Más precisamente, la restricción de que la versión de decisión está en P no tiene ninguna implicación en la complejidad de la versión de conteo. Esto se debe a que puede agregar una solución ficticia a cualquier problema de relación para que la versión de decisión se vuelva trivial (la respuesta siempre es sí) sin cambiar la complejidad de la versión de conteo.

— Tsuyoshi Ito
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¿por qué lo dices? "(ni siquiera necesariamente computable)" ¡Está claro que si B es un problema de decisión en P, entonces el #B está en #P, directamente desde la definición de la clase #P! pero probar que #B también es # P-com es importante, y agregar soluciones ficticias no debería afectar la complejidad del conteo. ¿usted está de acuerdo?

— marjoonjan 01 de

@marjoonjan: "Está claro que si B es un problema de decisión en P, entonces el #B está en #P, directamente desde la definición de la clase #P" Eso es falso. Además, tengo la impresión de que usted cree que un problema de decisión B determina de manera única el problema de conteo #B, pero no es el caso, como lo expliqué en esta respuesta.

— Tsuyoshi Ito