Complejidad del homomorfismo digrafo a un ciclo orientado

Dado un grafo dirigido fijo (dígrafo) , la problema de decisión -Coloreado pregunta si un dígrafo entrada tiene un homomorfismo a . (Un homomorfismo de a es un mapeo de a que conserva los arcos, es decir, si es un arco de , entonces es un arco de )D G D G D f V ( G ) V ( D ) u v G f ( u ) f ( v ) $D$$D$$G$$D$$G$$D$$f$$V(G)$$V(D)$$uv$$G$$f(u)f(v)$$D$

La clase de problemas de COLORING está fuertemente relacionada con la Conjetura de dicotomía para CSP establecida por Feder y Vardi (accesible en citeseer ).$D$

En este artículo de 2001 (accesible en la página del autor, aquí ), Feder demuestra un teorema de dicotomía cuando es un ciclo orientado (por ciclo orientado me refiero a un ciclo no dirigido donde cada borde se reemplaza por un solo arco, que puede orientarse arbitrariamente) , en otras palabras, muestra que para cualquier ciclo orientado , COLORING es polinomial en tiempo solucionable o NP-completo.$D$$D$$D$

Desafortunadamente, la clasificación de Feder es altamente no trivial y no explícita, ya que la complejidad de muchos casos está relacionada con la complejidad de ciertas variantes restringidas de SAT que dependen de la orientación. Al mirar el documento, no he podido determinar la respuesta a mi pregunta:

Pregunta: ¿Cuál es el tamaño más pequeño de un ciclo orientado $D$ tal que $D$ COLORACIÓN es NP-completo?

La respuesta podría estar en algún lugar de la literatura, pero no pude encontrarla.

Editar:Permítanme dar más detalles sobre la clasificación de Feder. Feder muestra que cualquier ciclo orientado NP-completo debe estar equilibrado, es decir, tener el mismo número de arcos en ambas direcciones (por lo tanto, tiene un orden uniforme). Luego, considere los "niveles" inducidos por la orientación (comience a dar la vuelta al ciclo en un vértice arbitrario; si un arco va hacia la derecha, sube por 1, si un arco va hacia la izquierda, baja por 1). Entonces, si hay como máximo una "carrera de arriba a abajo", es polinomial. Si hay al menos 3 de esas "ejecuciones" y el ciclo es un núcleo, es NP-complete. (En el ejemplo de András de los comentarios, hay tres "ejecuciones" de este tipo, pero el ciclo no es un núcleo). Los casos más difíciles son aquellos con dos "ejecuciones de arriba a abajo". Algunos son difíciles, otros polinomiales, y Feder los relaciona con problemas especiales de SAT para obtener una dicotomía.

Como una pregunta intermedia: ¿Cuál es el ciclo orientado más pequeño que tiene tres carreras "de arriba a abajo" y es un núcleo? Tal ejemplo sería NP-completo por la discusión anterior.

Para la pregunta intermedia (un núcleo con tres carreras de arriba a abajo), ¿qué tal esto?

Alguna notación: describiré corridas por palabras en , con p. Ej. L l r l correspondiente a un subgrafo ⋅ ← ⋅ ← ⋅ → ⋅ ← ⋅ . El nivel aumenta en arcos r y disminuye en arcos l , y supongo que su mínimo es 0 . Algunas restricciones directas son:$\{l,r\}^*$$llrl$$\cdot\leftarrow\cdot\leftarrow\cdot\to\cdot\leftarrow\cdot$$r$$l$$0$

• No puede haber una ejecución que consista solo en s o solo en r s, porque de lo contrario existe un homomorfismo obvio de D a esta ejecución (asignando cada nodo de D al que tiene el mismo nivel). Esto también implica que el nivel máximo debe ser al menos 3 .$l$$r$$D$$D$$3$
• Si el nivel máximo fuera , entonces todas las corridas de arriba abajo (resp abajo-arriba) tendrían la forma l l r ( l r ) i l l (resp. R r l ( r l ) i r r ) ; De nuevo, no es muy difícil encontrar un homomorfismo de D a la carrera que minimice i .$3$$llr(lr)^ill$$rrl(rl)^irr)$$D$$i$

Sin embargo, para el nivel máximo hay una solución, de longitud 36 : considere D dado por ( r r r l r r l l l r l l ) 3 . Esto tiene las ejecuciones requeridas de arriba a abajo y es un núcleo (ver más abajo). Por las restricciones anteriores, es necesariamente mínimo, ya que cada ejecución solo tiene un único borde "hacia atrás".$4$$36$$D$$(rrrlrrlllrll)^3$

Para convencernos de que este es un núcleo, primero nombremos los vértices ( ). Los vértices inferiores (es decir, nivel 0 ) son v 1 , v 13 , v 25 . Cualquier homomorfismo φ de D a un subgrafo debe preservar los niveles, y en particular φ ( v 1 ) ∈ { v 1 , v 13 , v 25 } ; módulo el automorfismo obvio v i ↦ $v_1,\ldots,v_{36}$$0$$v_1,v_{13},v_{25}$$\varphi$$D$$\varphi(v_1)\in\{v_1,v_{13},v_{25}\}$ , es suficiente considerar el casoφ( v 1 )= v 1 . Considere la vecindad de v 1 enD(anotada con niveles):$v_i\mapsto v_{i+12}$$\varphi(v_1)=v_1$$v_1$$D$

$v_{34}(1)\to v_{35}(2)\leftarrow v_{36}(1)\leftarrow v_1(0)\to v_2(1)\to v_3(2)\to v_4(3)\leftarrow v_5(2)\to v_6(3)\to v_7(4)$

Comenzando con , tenemos φ ( v 2 ) ∈ { v 36 , v 2 } . Pero si φ ( v 2 ) = v 36 , entonces φ ( v 3 ) = v 35 , y no tenemos un valor posible para φ ( v 4 ) . Obtenemos φ ( v 2 ) = $\varphi(v_1)=v_1$$\varphi(v_2)\in\{v_{36},v_2\}$$\varphi(v_2)=v_{36}$$\varphi(v_3)=v_{35}$$\varphi(v_4)$ . Siguiente φ ( v 5 ) ∈ { v 3 , v 5 } , pero para φ ( v 5 ) = v 3 obtenemos φ ( v 6 ) = v 4 , sin valor posible para φ ( v 7$\varphi(v_2)=v_2,\varphi(v_3)=v_3,\varphi(v_4)=v_4$$\varphi(v_5)\in\{v_3,v_5\}$$\varphi(v_5)=v_3$$\varphi(v_6)=v_4$$\varphi(v_7)$. Así debe ser la identidad de toda la tirada v 1 → ... → v 7 , y repitiendo el mismo argumento para las carreras restantes, lo mismo es cierto en todos D . En particular, φ no asigna D a un subgrafo apropiado.$\varphi$$v_1\to\ldots\to v_7$$D$$\varphi$$D$