Particionar un rectángulo sin dañar los rectángulos internos

$C$ es un rectángulo paralelo al eje.

$C_1,\dots,C_n$ son rectángulos paralelos entre ejes pares tal que , así: $C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

Una partición de preserva los rectángulos $C$ es una partición $C = E_1\cup\dots\cup E_N$ , de modo que $N\geq n$ , $E_i$ son rectángulos paralelos en el interior de pares disjuntos, y para cada $i=1,\dots,n$ : $C_i \subseteq E_i$ , es decir, cada rectángulo existente está contenido en un nuevo rectángulo único, como este:

¿Qué es un algoritmo para encontrar una partición de preservación de rectángulo con una pequeña ? $N$

En particular, ¿hay un algoritmo para encontrar una partición de preservación de rectángulo con partes? $N=O(n)$

cg.comp-geom

— Erel Segal-Halevi
fuente

NUEVA RESPUESTA: el siguiente algoritmo simple es asintóticamente óptimo:

Estire cada uno de los rectángulos arbitrariamente, en la mayor medida posible de modo que los rectángulos permanezcan separados por pares. $C_i$

El número de agujeros es como máximo . Esto es asintóticamente óptimo, ya que hay configuraciones en las que el número de agujeros es al menos . $k-2$ $k-O(\sqrt k)$

Las pruebas están en este documento .

ANTIGUA RESPUESTA:

El siguiente algoritmo, aunque no es óptimo, es aparentemente suficiente para encontrar una partición de preservación de rectángulo con partes . $N=O(n)$

El algoritmo trabaja con un polígono rectilíneo , que se inicializa en el rectángulo . $P$ $C$

Fase 1: Elija un rectángulo que esté adyacente a un límite occidental de (es decir, no hay otro rectángulo entre el lado occidental de y un límite occidental de ). Lugar dentro de y estirar hasta que toque el límite occidental de . Deje que (para ) sea la versión extendida de . Deje . Repita la fase 1 veces hasta que todas $C_i$ $P$ $C_j$ $C_i$ $P$ $C_i$ $P$ $P$ $E_i$ $i=1,\dots,n$ $C_i$ $P=P\setminus E_i$ $n$ $n$ Los rectángulos originales se colocan y se estiran. En la imagen a continuación, un posible orden de colocación de los rectángulos es : $C_1,C_2,C_4,C_3$

Ahora, es un polígono rectilíneo (posiblemente desconectado), como este: $P$

Afirmo que el número de vértices cóncavos en es como máximo . Esto se debe a que, cada vez que se elimina un rectángulo estirado de , hay 3 posibilidades: $P$ $2n$ $P$

Se agregan 2 nuevos vértices cóncavos (como al colocar ); $C_1,C_4$
Se agregan 3 vértices cóncavos nuevos y se elimina 1 (como con ); $C_3$
Se agregan 4 vértices cóncavos nuevos y se eliminan 2 (como con ). $C_2$

Fase 2: Partición en rectángulos paralelos al eje usando un algoritmo existente (ver Keil 2000, páginas 10-13 y Eppstein 2009, páginas 3-5 para una revisión). $P$

Keil cita un teorema que dice que el número de rectángulos en una partición mínima está limitado por 1 + el número de vértices cóncavos. Por lo tanto, en nuestro caso, el número es como máximo , y el número total de rectángulos en la partición es . $2n+1$ $N\leq 3n+1$

Este algoritmo no es óptimo. Por ejemplo, en el ejemplo anterior da mientras que la solución óptima tiene . Entonces quedan dos preguntas: $N=13$ $N=5$

A. ¿Es correcto este algoritmo?

B. ¿Existe un algoritmo de tiempo polinómico para encontrar el óptimo , o al menos una mejor aproximación? $N$

— Erel Segal-Halevi
fuente

Bueno, en la fase 1, agrega celdas de partición, cada una de las cuales contiene exactamente un rectángulo inicial y no se superpone en otro. En la fase 2, divide el espacio restante, por lo que las celdas creadas en la fase 2 no se cruzan con ninguno de los rectángulos iniciales. La prueba de corrección parece bastante sencilla, ¿o me perdí algo?

— Boson

@Boson, el punto en el que no estoy seguro es que el número de vértices cóncavos es como máximo . Parece "obvio" que solo hay 3 posibilidades como escribí, pero es posible que haya perdido alguna otra posibilidad.

2 n

$2n$

— Erel Segal-Halevi