¿El problema de copia de seguridad NP-completo?

¿Es el siguiente problema de decisión NP-completo:

Sea un gráfico no dirigido y dos enteros. ¿Es posible seleccionar para cada vértice de exactamente vecinos diferentes de modo que no se elija ningún nodo más de veces? $G$ $b \le c$ $G$ $b$ $c$

El caso se puede resolver para cualquier en tiempo polinomial utilizando la coincidencia máxima. $b = 1$ $c$

Motivación: cada nodo quiere colocar copias de seguridad en vecinos diferentes, pero cada nodo solo tiene capacidad para almacenar copias de seguridad . $b$ $c$

cc.complexity-theory np-hardness graph-algorithms

— Volker Turau
fuente

Creo que el siguiente es un algoritmo de tiempo polinómico basado en el flujo máximo. Sea la entrada. $G(V,E), b, c$

Construir un gráfico bipartito dirigido con y siendo las particiones izquierda y derecha y siendo los bordes dirigidos de a . $H(L,R,F)$ $L$ $R$ $F$ $L$ $R$
Dejar . Hay vértices en y vértices en . $|V| = n$ $n$ $L$ $n$ $R$
Cada vértice tiene una "copia" en (digamos ) y una copia en (digamos ). $v \in V$ $L$ $v_l$ $R$ $v_r$
Si agregue un borde dirigido de a . Cada borde tiene capacidad 1. $(u,v) \in E$ $u_l$ $v_r$
Añadir un nodo "fuente" y añadir bordes dirigidos desde a cada vértice en . Cada borde tiene una capacidad . $s$ $s$ $L$ $b$
Agregue un nodo "sumidero" y agregue bordes dirigidos desde cada vértice en a . Cada borde tiene una capacidad . $t$ $R$ $t$ $c$
Encontrar el máximo flujo de a . $s$ $t$

El gráfico dado tiene una solución si y sólo si el máximo de flujo calcula anteriormente se satura cada borde de a , es decir, el flujo en cada borde de a es igual a . $G$ $s$ $L$ $s$ $L$ $b$

— Shiva Kintali
fuente

De hecho, esta es precisamente la solución prevista cuando asigno esto como un problema de tarea.

— Jeffε