Poly tiempo superconjunto de lenguaje completo NP con infinitas cadenas excluidas de él

Para cualquier lenguaje NP arbitrario completo, ¿hay siempre un superconjunto polytime cuyo complemento también es infinito?

Se ha pedido una versión trivial que no estipula que el superconjunto tenga un complemento infinito en /cs//q/50123/42961

A los fines de esta pregunta, puede suponer que . Como explicó Vor, si entonces la respuesta es "No". (Si , entonces es NP-complete. Claramente no hay un superconjunto de que sea infinito y tenga un infinito complemento, ya que el complemento de tiene un solo elemento.) Por lo tanto, podemos centrarnos en el caso . $P \ne NP$ $P = NP$ $P = NP$ $X = \{x \mid x \in \mathbb{N^+} \land x > 1\}$ $X$ $X$ $P \ne NP$

cc.complexity-theory np-complete structural-complexity

— ARi
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Si entonces es NP-completo. Claramente, no hay un superconjunto de que sea infinito y tenga un complemento infinito (tenga en cuenta que ). Por lo tanto, puede "centrarse" en lo que sucede si .

P = N P

$P = NP$

X = {x ∣ x \in N^{+} \land x > 1}

$X = \{x \mid x \in \mathbb{N^+} \land x > 1\}$

X

$X$

\bar{X} = {1}

$\bar{X} = \{1\}$

P \neq N P

$P \neq NP$

— Marzio De Biasi

¿Qué hay de la versión relativizada? ¿Existe un oráculo?

todos los conjuntos co-NP

son inmunes a P

A

$A$

^{A}

$^A$

^{A}

$^A$

— Lance Fortnow

@LanceFortnow ... o para cualquier idioma completo en particular. Clase de complejidad: ¿existe siempre un superconjunto no trivial de menor complejidad?

— ARi

Respuestas:

Cada conjunto completo de contiene un subconjunto infinito en suponiendo $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$

existen generadores pseudoaleatorios, y
existen permutaciones unidireccionales seguras.

En otras palabras, suponiendo que estos dos conjeturas son verdaderas, no conjunto -Complete es P- inmune . Como se señaló en los comentarios de Lance, esto está implícito en el Teorema 4.4 de $\mathsf{coNP}$

Glasser, Pavan, Selman y Sengupta, " Propiedades de conjuntos completos de NP ", SIAM J. Comput. 36 (2), 516–542.

(Kaveh ya ha demostrado que su pregunta es equivalente a si cada conjunto completo de contiene un subconjunto infinito . En otro lenguaje, esto significa que ningún conjunto completo de es " inmune". es el lenguaje utilizado en el teorema mencionado anteriormente). $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{coNP}$ $\mathsf{P}$

— Joshua Grochow
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Borrador del ECCC

— Kaveh

Por fuertes funciones de núcleo duro (e iteración ), las permutaciones unidireccionales implican generadores pseudoaleatorios.

@RickyDemer: Vea las definiciones 4.1-4.3 en el documento citado. Si lo entiendo correctamente, los OWP implican lo que llaman "cripto-PRG", pero no necesariamente lo que llaman "PRG" en el documento Glasser-Pavan-Selman-Sengupta. Para su resultado, ellos (parecen) necesitan tanto OWP como lo que llaman PRG.

— Joshua Grochow

Kaveh solo mostró que la equivalencia de los conjuntos completos de NP completos son inmunes a P, pero la conclusión del teorema 4.4 en Glasser et al. juegos completos inmunes a P.

— Lance Fortnow

@ JoshuaGrochow Gracias ... pero hay suposiciones que podemos hacer que a su vez implican la inexistencia de tal lenguaje. Estaba más interesado en escenarios donde no hay un superconjunto de tiempo polivinílico

— ARi

Interesante pregunta. La declaración

por cada NP- completo , hay en P de modo que y son infinitos. $L$ $U$ $L \subseteq U$ $U^c$

es equivalente a:

por cada NP- completa , el complemento de contiene un conjunto P infinito. $L$ $L$

que a su vez es equivalente a

cada conjunto completo de coNP contiene un conjunto P infinito.

~~que es por simetría lo mismo que~~

~~cada conjunto NP-completo contiene un conjunto P infinito.~~

No creo que se sepa la respuesta. Creo que los juegos completos naturales NP satisfacen esta condición fácilmente. No creo que tengamos herramientas para construir un conjunto artificial que falle la declaración. (ver el comentario de Lance a continuación)

— Kaveh
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Su declaración inicial es trivialmente verdadera. (Sea U el lenguaje completo.)

Es un interesante cadena de deducciones ... Podría dar un ejemplo de un NP completo lenguaje natural en este sentido

— ARi

La simetría no tiene sentido. Por ejemplo, cada conjunto ce tiene un subconjunto computable infinito, pero hay conjuntos co-ce que no lo tienen.

— Lance Fortnow