Conjetura: todos los lenguajes completos de FPT NP son isomorfos de parámetros fijos

Conjetura de Berman-Hartmanis: todos los lenguajes NP completos se parecen, en el sentido de que pueden estar relacionados entre sí por isomorfismos de tiempo polinomiales [1].

Estoy interesado en una versión más detallada del "tiempo polinómico", es decir, si usamos reducciones parametrizadas.

Un problema parametrizado es un subconjunto de $Σ^∗ × Z \geq 0$ , donde $Σ$ es un alfabeto finito y $Z\geq 0$ es el conjunto de números no negativos. Por lo tanto, una instancia de un problema parametrizado es un par $(I, k)$ , donde $k$ es el parámetro.

Un problema parametrizado $π_1$ es un parámetro fijo reducible a un problema parametrizado $π_2$ si existen funciones $f$ , $g$ : $Z≥0 → Z≥0$ , $Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$ y un polinomio $p(·)$ tal que para cualquier instancia $(I, k)$ de $π_1$ , $(Φ(I, k), g(k))$ es una instancia de $π_2$ computable en el tiempo $f(k) · p(|I|)$ y $(I, k) ∈ π_1$ si y solo si $(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$ . Dos problemas parametrizados son equivalentes de parámetros fijos si son reducibles entre sí por parámetros fijos.

Algunos problemas NP-completos son FPT, por ejemplo, la versión de decisión del problema de cobertura de vértice es NP-Complete, tiene un $O(1.2738^k + kn)$ [2]. Encontrar mejores reducciones de parámetros fijos de un problema de FPT que es NP-Complete puede conducir a un mejor algoritmo, por ejemplo, al invocar una reducción a una "versión de garantía anterior" del problema de corte de múltiples vías puede conducir a un algoritmo en el tiempo $O^*(4^k)$ para el problema AGVC (por encima de la cubierta del vértice de garantía) [3], que es mejor que el algoritmo original $O^*(15^k)$ [4].

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

¿Es cierta esa conjetura?

[1] Berman, L .; Hartmanis, J. (1977), "Sobre isomorfismos y densidad de NP y otros conjuntos completos", SIAM Journal on Computing 6 (2): 305–322.

[2] J. Chen, IA Kanj y G. Xia, límites superiores mejorados para la cubierta de vértice, Theor.Comput. Sci., 411 (2010), págs. 3736-3756.

[3] M. Cygan, M. Pilipczuk, M. Pilipczuk y JO Wojtaszczyk, sobre corte de múltiples vías parametrizado por encima de los límites inferiores, en IPEC, 2011.

[4] M. Mahajan y V. Raman, Parametrización de los valores garantizados anteriores: Maxsat y maxcut, J. Algorithms, 31 (1999), pp. 335-354.

Serge Gaspers ya mencionó por qué su conjetura es trivialmente cierta.
Sin embargo, de hecho, uno puede obtener isomorfismos de parámetros fijos de tiempo polinómico ,
que ahora me doy cuenta de que no es mucho menos trivial, ya que se aplica a cada
par ordenado de problemas FPT no triviales con una reducción en el sentido ordinario.

Supongamos que sea ​​un número entero mayor que el grado del algoritmo FPT para , y que y sean una instancia de sí y no respectivamente de . Lo siguiente será una reducción de parámetros fijos de tiempo polinómico de a :$c$$\pi_1$
$Y$$N$$\pi_2$
$\pi_1$$\pi_2$

Pruebe el algoritmo FPT en para hasta pasos. Si eso da una respuesta, entonces envíe o como lo indica esa respuesta. De lo contrario, muestre el resultado de aplicar una reducción de tiempo polinomial ordinario de a . La corrección y el tiempo de ejecución polinomial son obvios. Dado que es mayor que el grado del algoritmo FPT para , es el caso de que para cada fija , solo hay finitamente muchas longitudes de entrada para las cuales el tiempo de ejecución máximo del algoritmo FPT no es menor que$\pi_1$$n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$$N$
$\pi_1$$\pi_2$


$\:$$c$$\pi_1$$k$$n$$n^{\hspace{.02 in}c}$ . Por lo tanto, para cada fijo , la reducción anterior solo tiene muchas salidas. Por lo tanto, satisface su condición de parámetro fijo.$\:$$k$$\:$