Problemas NP-completos "casi fáciles"

Digamos que un lenguaje $L$ está cerca de la densidad P si hay un algoritmo de tiempo polinómico que decide correctamente $L$ en casi todas las entradas.

$A\in$ $L\Delta A$

lim_{n \to \infty} \frac{| (L Δ A) \cap {0, 1}^{n} |}{2^{n}} = 0.

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{|(L\Delta A) \cap \{0,1\}^n|}{2^n}=0.$

A

$A$

L

$L$

L

$L$

Tenga en cuenta que no tiene que ser escaso. Por ejemplo, si tiene cadenas de bits, entonces sigue desapareciendo (a una tasa exponencial), ya que . $L\Delta A$ $2^{n/2}$ $n$ $2^{n/2}/2^n=2^{-n/2}$

De acuerdo con la definición anterior, no es difícil (artificialmente) construir problemas completos de NP que estén cerca de la densidad de P. Por ejemplo, deje que sea cualquier lenguaje NP completo y defina . Entonces retiene NP- completitud, pero tiene como máximo -bit yes-instancia. Por lo tanto, el algoritmo trivial que responde "no" a cada entrada, decidirá correctamente en casi todas las entradas; errará solo en una fracción de entradas de bits. $L$ $L^2=\{xx\,|\, x\in L\}$ $L^2$ $2^{n/2}$ $n$ $L^2$ $\leq 1-2^{-n/2}$ $n$

Por otro lado, sería muy sorprendente si todos los problemas completos de NP están cerca de la densidad de P. Significaría que, en cierto sentido, todos los problemas completos de NP son casi fáciles. Esto motiva la pregunta:

Suponiendo P NP , ¿cuáles son algunos problemas naturales de NP completos que no están cerca de la densidad de P ? $\neq$

— Andras Farago
fuente

Desde Heuristica no se descarta, no hay ni siquiera un problema no-necesariamente natural para el que se conoce P ≠ NP dar a entender que el problema no está casi en P.

Creo que los problemas de correspondencia posterior son un buen problema candidato. Es difícil incluso para instancias uniformemente aleatorias y, por lo tanto, es difícil en el caso promedio.

— Mohammad Al-Turkistany

FYI: su elección de nomenclatura, aunque natural, entra en conflicto con alguna nomenclatura existente: la clase Almost-P consta de esos idiomas L de manera que tiene la medida 1. También podría estar interesado en sepa que la versión escasa de su definición ya se ha utilizado y tiene conexiones con varias otras ideas, vea P-close . Dada la definición de P-close, quizás un buen nombre para su concepto sea P-densidad-close, o P-close-suficientemente :).

{A : L \in P^{A}}

$\{A : L \in P^A\}$

— Joshua Grochow

Por otro lado, el problema de decisión " Colocación gráfica " es presumiblemente un candidato para tal problema.

$\;$

No estoy convencido de que esta sea la definición correcta. Si la densidad de desaparece, entonces es "casi fácil" a través de cualquier lenguaje trivial , no importa cuán difícil sea en realidad. Sin embargo, es difícil exhibir lenguajes naturales duros sobre el alfabeto con una densidad que no desaparece, simplemente debido a la codificación. ¿La intersección no debe ser con el tamaño entradas válidas (por lo que este es un problema prometedor), en lugar de todas las cadenas? De lo contrario, esto requiere principalmente responder a la pregunta: ¿hay una codificación booleana de algún lenguaje NP-hard con densidad que no desaparezca?

L

$L$

A

$A$

{0, 1}

$\{0,1\}$

n

$n$

— András Salamon

Investigué si existe una hipótesis generalmente aceptada en la teoría de la complejidad, lo que implica que debe existir un lenguaje NP completo que no pueda aceptarse en tiempo polinómico en casi todas las entradas (como se define en la pregunta).

Curiosamente, las hipótesis más "estándar" no parecen implicarlo. Es decir, no parece seguir (a menos que haya pasado por alto algo) de P NP , P BPP , NP coNP , E NE , EXP NEXP , NP PSPACE , NP EXP , NP P / poly, PH no colapsa, etc. $\neq$ $=$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\neq$ $\not\subseteq$

Por otro lado, encontré una hipótesis, un poco menos estándar, que implica la existencia del problema NP buscado completo, aunque no es natural. En la teoría de la medida limitada por los recursos, la hipótesis fundamental es que NP no tiene -medida cero, denotada por NP . Informalmente, esto significa que los idiomas NP dentro de E no forman un subconjunto insignificante. Para más detalles, vea una encuesta aquí . En esta teoría prueban, entre muchas otras cosas, que NP implica la existencia de una P $p$ $\mu_p($ $)\neq 0$ $\mu_p($ $)\neq 0$ -bi-lenguaje inmune en NP . Un lenguaje es P -bi-inmune si ninguno ni su complemento tiene un subconjunto infinito en P . Tal lenguaje satisface nuestros requisitos de una manera fuerte. $L$ $L$

Sin embargo, aún no está claro si existe un ejemplo que represente un problema natural .

— Andras Farago
fuente

La bi-inmunidad también es mucho más fuerte que su condición, y está relacionada con el uso más común de "casi todos" en la teoría de la complejidad estructural, a saber, "para todos menos para muchos" ...

— Joshua Grochow

@JoshuaGrochow Estoy de acuerdo, pero parece que, en cierto sentido, la inmunidad P-bi significa una intractabilidad demasiado fuerte . No parece ocurrir entre problemas naturales de NP completo. Es sorprendente para mí que aparentemente no hay resultados que proporcionen condiciones simplemente para la existencia de un lenguaje NP-completo "débilmente casi en todas partes" intratable. Por "débilmente en casi todas partes" me refiero a que la condición de "todos menos finitos" se reemplaza por "casi todos menos". Eso podría relacionarse mejor con lo que realmente se encuentra en la práctica.

— Andras Farago

¿Se sabe que NP es p-mensurable?

@RickyDemer Hasta donde yo sé, no se sabe si NP es p-mensurable.

— Andras Farago