Problemas en el tiempo cuasi-polinomial que posiblemente podrían estar en P (sin causar colapsos o violar creencias ampliamente sostenidas)

¿Cuáles son algunos ejemplos de problemas con el tiempo cuasi-polinomial (algoritmos de Q P ) que posiblemente podrían estar en P ? En otras palabras, ¿están en Q P sin ninguna razón obvia aparte de que nadie ha encontrado un algoritmo de tiempo polinomial?$QP$$P$$QP$

Esta pregunta está motivada por el resultado reciente del isomorfismo gráfico (que es una respuesta válida a esta pregunta)

Algunos no ejemplos son

• Encontrar una camarilla de tamaño en un gráfico$\log^{100} n$
• Encontrar una ruta de de tamaño 100 n en un gráfico$\log^{100} n$
• Resolver suma k para $k=\log^{100} n$
• Conjunto dominante mínimo en un torneo

Cualquiera de estos problemas al estar en violaría la hipótesis del tiempo exponencial (ETH).$P$

¡Isomorfismo grupal! Aunque Ricky Demer dio muchos (aunque ciertamente no todos) detalles sobre esto, hay un punto importante que quiero destacar, especialmente. dada la motivación indicada para la pregunta, a saber:

Poner el isomorfismo grupal en es un obstáculo clave para poner el isomorfismo gráfico en $\mathsf{P}$$\mathsf{P}$

El isomorfismo grupal (cuando se da en tablas de multiplicar) se reduce a isomorfismo gráfico, por lo que lo anterior siempre fue técnicamente cierto. Pero cuando Graph Iso estaba muy arriba en estaba tan lejos del Grupo Iso2(logn)2que claramente había otros obstáculos en el camino. Si Graph Iso es en el tiempo2(logn) O ( 1 ) , Grupo isomorfismo es entonces un obstáculo mucho más inmediatamente relevante para poner Graph isomorfismo enP. En particular, esto sugeriría que el algoritmo de Babai maneja gran parte [1] de la combinatoria de GI, y el problema ahora se debe al álgebra dura. (No es que no haya álgebra dura en GI, pero GroupIso es,por definición,sobre álgebra).$2^{\tilde{O}(\sqrt{n})}$$2^{(\log n)^2}$$2^{(\log n)^{O(1)}}$$\mathsf{P}$

[1] No diré "todos" los combinatorios, porque el exponente en el algoritmo de Babai es muy probablemente , lo que aún dejaría una brecha entre GI y GroupIso. También porque todavía puede haber algo de combinatoria dentro del álgebra de GroupIso ...$> 2$

Resolver el problema de la camarilla plantada de distinguir una gráfica aleatoria uniforme de la unión de una gráfica aleatoria y una camarilla (de tamaño intermedio entre y $2\log_2 n$ ), con probabilidad de éxito limitada desde 1/2. Se diferencia de su ejemplo de violación de ETH de encontrar camarillas del tamaño de polylog en gráficos arbitrarios, porque este es un problema de caso promedio, no el peor de los casos.$\sqrt n$

El isomorfismo grupal es otro problema decentemente conocido que se
puede resolver en tiempo cuasi polinomial. Ese resultado se puede generalizar
a otros objetos finitos que "extienden" grupos en un sentido adecuado:
[ semirreductos conmutativos con la propiedad de producto cero ] y los grupoides conmutativos no
están lo suficientemente cerca, pero [ tΘles de grupos de longitud Θ (1) con las etiquetas en algunas tuplas
de conjuntos de elementos de grupo (que no son necesariamente del mismo grupo)] funcionan todas.
(Eso es bastante amplio, ya que las tuplas etiquetadas de singletons permiten funciones de codificación,
y luego tener tuplas de grupos permite separarescalares y vectores .)

Para esta respuesta, los grupos están dados por tablas de Cayley . Tenga en cuenta que los problemas que voy
a mencionar solo se conocen "realmente" en SUBEXP cuando [sus grupos subyacentes
no son necesariamente todos abelianos] o [pueden tener "una cantidad lo suficientemente grande" de etiquetas que
no está comprendido por [un "pequeño" número de [[subgrupos de sumas directas de esos grupos] y / o
[funciones desde y hacia dichos subgrupos que se distribuyen por adición]]]], ya que de
lo contrario todo podría comprimirse exponencialmente expresando cosas en términos de generación de conjuntos,
en cuyo caso dar las tablas completas equivaldría esencialmente a rellenar la entrada.

Para entradas que consisten en [un par ordenado $\langle \hspace{-0.02 in}$A, B tales tuplas tuplas cuyas longitudes son tanto L] como [un número entero no negativo c tal que L y c están ambas en O (1)] y una tupla de longitud L de posibles restricciones a la inyectividad / surjectividad /cero, la existencia de más de c [morfismos desde [el objeto izquierdo de ese par ordenado] a [el objeto derecho de ese par ordenado] para los cuales los homomorfismos del grupo componenteL satisfacen las restricciones correspondientes] es decidible en GC(O (log (max ( cardinality_of_A's_groups)) ⋅ log (max (cardinality_of_B's_groups))),logspace) porel resultado de Reingold, ya que el verificadortiene acceso de lectura bidireccionala la supuesta prueba. $\hspace{-0.02 in}\rangle$



$\cdot$

Además (todavía usando Reingold), máquinas LOGSPACE pueden calcular tales morfismos dado
acceso de 2 vías para dichos testigos, y si, además, tienen acceso 2-manera de una cinta de azar,
a continuación, que pueden dar [[a [prueba de conocimiento con con respecto a un extractor que tiene acceso de lectura bidireccional
a lo que ya ha emitido] de tal testigo de isomorfismo] con las mismas propiedades
que el ZK P oK habitual para isomorfismo gráfico] a un verificador de espacio de registro con acceso de lectura bidireccional a
su propia aleatoriedad y a los mensajes del probador. Del mismo modo, el sistema de prueba HVSZK para el
no isomorfismo gráfico se transfiere esencialmente sin cambios a los objetos del tipo del que trata este párrafo.

$\cdot \hspace{-0.02 in}\lceil \hspace{-0.03 in}$log ₂ (cardinalidad_del_grupo_)$\hspace{-0.02 in}\rceil$

Como consecuencia, uno obtiene esas cosas que van desde el
"isomorfismo de subgrupo simple " a "moderado número mínimo de elementos que se
pueden combinar con un subconjunto dado de un grupo abeliano para generar todo el grupo",
al intencionalmente complicada a estado
"Dado un dominio cuyo escalares sólo necesitan para formar un r$\hspace{.02 in}$ng y un codominio con
adición de "vector" no necesariamente conmutativa, ¿hay más de 3 homomorfismos de álgebra de modo que el mapa en escalares no sea el cero r$\hspace{.02 in}$ng morfismo y el mapa de "vectores" es inyectivo? "
están todos en GC$\hspace{-0.02 in}\big(\hspace{-0.03 in}O\big(\hspace{-0.03 in}$$^2\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.03 in}$espacio de registro$\hspace{-0.03 in}\big)\hspace{-0.02 in}$, y por lo tanto en particular solucionable en tiempo cuasi polinomial.


Aparte del hecho de que [ desde 2011 , un trabajo significativo sobre el problema ha "meramente" reducido a la mitad el exponente del tiempo de ejecución para grupos generales y descuartizado el exponente del tiempo de ejecución para grupos solucionables ],
no estoy al tanto de ninguna evidencia de que tales problemas no deberían estar en P.


Evidencia de que los problemas de los que trata esta respuesta "no son tan difíciles":

Ya mencioné el sistema de prueba ZKPoK y HVSZK.
Siempre que haya "no demasiados" objetos no isomórficos, [dar al verificador una cadena de consejos "no muy larga" y dejar que las pruebas contengan un puntero a las ubicaciones en él] es suficiente para
verificar adicionalmente los complementos del tipo de problema. la respuesta ha sido antes de esta oración.
(El puntero es hacia donde la cadena de consejos proporciona [2 objetos de referencia para los
que los objetos de entrada son isomorfos] y las respuestas para ellos.)
Por esta respuesta está limitada el número de grupos no isomorfos (que no sé cómo probar), siempre que las tuplas etiquetadas estén abarcadas por la combinación de
$\:\: \big[\hspace{-0.02 in}$
$\big[\hspace{-0.02 in}$$O\big(\hspace{-0.03 in}$$^2\hspace{-0.03 in}\big)\big]\big]\hspace{-0.02 in}$
$n^{O\left((\log(n))^{\hspace{.02 in}2}\hspace{-0.02 in}\right)}$

$O\big(\hspace{-0.03 in}$log ⁶ n$\hspace{-0.03 in}\big)$$O\big(\hspace{-0.03 in}$log ² n$\hspace{-0.03 in}\big)$

$O(\log^3 k)$$O(i^2 k^{1/i})$$n^{O(i)}$

Relacionado con este problema está el problema de Orientación Submodular y sus casos especiales. http://ieeexplore.ieee.org/xpl/login.jsp?tp=&arnumber=1530718&url=http%3A%2F%2Fieeexplore.ieee.org%2Fxpls%2Fabs_all.jsp%3Farnumber%3D1530718

$\mathcal{H}:=(V,{\cal E}\subseteq 2^V)$${\cal H}$$V$${\cal E}$

${\cal H}$${\cal T}$

${\cal T}$${\cal H}$

El algoritmo más conocido es un algoritmo de tiempo cuasi-polinomial (el primero es el de Fredman y Khachiyan http://dx.doi.org/10.1006/jagm.1996.0062

El problema se conoce como dualidad booleana monótona o dualidad hipergráfica y varios problemas de enumeración son reducibles a este problema o equivalentes (por ejemplo, la enumeración de conjuntos dominantes mínimos es equivalente a este problema). En realidad se cree que está en P.