¿La conjetura del isomorfismo implica límites inferiores exponenciales en la densidad de testigos?

La conjetura del isomorfismo de Berman y Hartmanis establece que todos los conjuntos completos de son polinomiales en el tiempo isomorfos entre sí. Esto significa que los completos de pueden reducirse eficazmente entre sí mediante bijecciones de tiempo polinómico computables e invertibles. La conjetura implica . $NP$ $NP$ $P\neq NP$

La conjetura del isomorfismo implica un límite inferior exponencial en la densidad de los conjuntos completos de ya que el problema de satisfacción es denso. Me pregunto si también implica un límite inferior exponencial en la densidad de testigos para el conjunto completo de $NP$ $NP$

¿La conjetura del isomorfismo implica límites inferiores exponenciales en la densidad de testigos? ¿ Implica que los problemas completos de no pueden estar en ? $NP$ $FewP$

El mejor resultado que conozco es el siguiente:

Si y entonces la conjetura del isomorfismo es válida. $P=UP$ $NP=EXP$

La densidad de un conjunto refiere al número de cadenas de longitud menor que en el lenguaje. Un conjunto es exponencialmente denso si su densidad es para algunos y para infinitamente y disperso si = . $D$ $S$ $n$ $S$ $D=\Omega(2^{n^\epsilon})$ $\epsilon \gt 0$ $n$ $D$ $O(poly(n))$

cc.complexity-theory structural-complexity

— Mohammad Al-Turkistany
fuente

Densidad Testigos de conjunto

depende del número máximo de testigos para

más de todo

X

$X$

x

$x$

x \in X

$x \in X$

— Mohammad Al-Turkistany

Parece improbable. Sería interesante construir un oráculo donde se mantenga la conjetura del isomorfismo y

... (Tenga en cuenta que hacer

puede hacer la vida un poco más difícil en esta construcción, dado que para obtener la conjetura del isomorfismo para sostener uno, se necesitaría

, y aún así se necesita otra forma de evitar la Conjetura de Joseph-Young.)

N P = U P

$NP=UP$

N P = F e w P

$NP=FewP$

N P = U P

$NP=UP$

P \neq U P

$P \neq UP$

— Joshua Grochow

No veo cómo eso seguiría de inmediato: la conjetura del isomorfismo es sobre los idiomas, y no parece tener ninguna implicación sobre la estructura testigo de los verificadores NP. (Cada idioma tiene infinitos verificadores diferentes para él, y potencialmente podrías manipularlos para hacer cosas extrañas).

Pero su pregunta revela otra pregunta intrigante muy natural, sobre el siguiente fortalecimiento de la Conjetura del Isomorfismo:

"¿Todos los verificadores para conjuntos completos de NP son poli-temporales isomorfos?"

Es decir, queremos no solo un isomorfismo poli-tiempo entre dos idiomas NP-completos definidos por los verificadores , sino también isomorfismos entre sus conjuntos de entrada-testigo pares que respetan el isomorfismo . (Nota: Hay varias formas en que uno podría definir esto formalmente). Todos $\phi_{L,L'}$ $L,L'$ $V,V'$ $\psi_{V,V'}$ $\phi_{L,L'}$ $NP$ - Pruebas de dureza que puedo pensar en darle una correspondencia uno a uno de este tipo, también. Esta "Conjetura del testigo del isomorfismo" más fuerte implicaría algún tipo de respuesta afirmativa a su pregunta.

Una búsqueda rápida en Google (escribiendo 'conjetura de isomorfismo testigo') encontró una encuesta de algunos enfoques para este tipo de pregunta:

Eric Allender. Investigaciones sobre la estructura de conjuntos completos. Perspectivas en la complejidad computacional: The Somenath Biswas Anniversary Volume, Springer, 2014

— Ryan Williams
fuente

+1 Muy interesante. Cumpliendo con su sugerencia, busqué en Google y encontré este documento, las reducciones isomorfas de testigos y el problema de búsqueda local . ¿Es este el tipo de testigo requerido para el isomorfismo ?

— Mohammad Al-Turkistany

¡Interesante! ¿Quiere decir que por cada

que son

-completo, existen verificadores

e isomorfismos compatibles

? ¿O realmente para cada par de verificadores

, existen isos compatibles? Dado que su noción de isos compatibles en particular implica reducciones parsimoniosas en ambos sentidos, la segunda pregunta se falsifica fácilmente: tome cualquier verificador

para SAT, luego deje

L, L^{'}

$L,L'$

N P

$\mathsf{NP}$

V, V^{'}

$V,V'$

ϕ_{L, L^{'}}, ψ_{V, V^{'}}

$\phi_{L,L'}, \psi_{V,V'}$

V, V^{'}

$V,V'$

V

$V$

Ser un verificador para SAT que acepte a todos los testigos en

V^{'}

$V'$

{{0, 1}^{n} w | V (w) = 1}

$\{\{0,1\}^n w | V(w)=1\}$

— Joshua Grochow

Bien, debes tener cuidado de cómo formular la conjetura para evitar contraejemplos triviales. Google me reveló que no soy el primero, así que sugiero leer el trabajo de las personas que han pensado en esto durante más de 10 minutos :)

— Ryan Williams

Ryan, creo que tu conjetura es muy importante. Puede ser más fácil de probar que la Conjetura de isomorfismo estándar de Berman y Hartmanis. Creo que su conjetura sugiere la existencia de un verificador universal para todos los conjuntos de NP.

— Mohammad Al-Turkistany