¿Cuál es la complejidad de contar nodos impares en el gráfico?

Según Handshaking Lemma: cualquier gráfico no dirigido que tenga un vértice cuyo grado sea un número impar debe tener algún otro vértice cuyo grado sea un número impar. Esta observación significa que si se nos da un gráfico y un vértice de grado impar, y se nos pide que encontremos algún otro vértice de grado impar, entonces estamos buscando algo que se garantiza que existe (entonces, tenemos un problema de búsqueda total). )

PPA (Christos Papadimitriou en 1994 [1]) se define de la siguiente manera. Supongamos que tenemos un gráfico en cuyos vértices son cadenas binarias de n bits, y el gráfico está representado por un circuito de tamaño polinómico que toma un vértice como entrada y saca a sus vecinos. (Tenga en cuenta que esto nos permite representar un gráfico exponencialmente grande en el que podemos realizar una exploración local de manera eficiente). Supongamos además que un vértice específico (digamos el vector de todos los ceros) tiene un número impar de vecinos. Estamos obligados a encontrar otro vértice de grado impar. La clase correspondiente de argumentos de paridad para gráficos dirigidos es pertenecer a PPAD.

Mi pregunta: ¿Cuál es la complejidad de contar nodos impares en un gráfico dirigido y no dirigido?

[1] Papadimitriou, Christos H. "Sobre la complejidad del argumento de paridad y otras pruebas ineficaces de existencia". Journal of Computer and system Sciences 48.3 (1994): 498-532.

Bueno, al menos -duro. Dada una fórmula SAT, construya una gráfica con dos vértices, v x y v ′ x , para cada posible asignación de variables → x . Si x es una asignación satisfactoria para la fórmula, dibuje una arista entre v x y v ′ x ; Estos son los únicos bordes. Es fácil construir el circuito para este gráfico a partir de la fórmula SAT, y el número de vértices impares es exactamente el doble del número de asignaciones satisfactorias.$\#\mathsf{P}$$v_x$$v_x'$$\vec{x}$$x$$v_x$$v_x'$