Relaciones lógicas para un sistema impredecible en una metateoría predictiva

Las relaciones lógicas para lenguajes impredecibles como el Sistema F parecen depender críticamente de la impredicatividad de la lógica ambiental. Específicamente, la interpretación para el tipo forall se definirá en términos de todas las relaciones escritas. En un sistema impredecible (como CiC / Coq) está bien, pero parece imposible en un sistema predicativo (como Agda).

¿Cómo se puede hacer esto? Por ejemplo, ¿cómo probarías la normalización del Sistema F en Agda? ¿Tienes que construir tu propio universo impredicativo?

— Max nuevo
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En general, lo que generalmente llamamos el argumento de las relaciones lógicas no está realmente vinculado a la impredicatividad: la idea principal es simplemente interpretar los términos en algún álgebra abstracta , y representar los tipos como una relación ( -ary) . $\cal A$ $n$ $R \subseteq \cal A^n$

$\lambda$

$\mathrm{PA}_2$

Sin embargo, es instructivo determinar exactamente dónde falla la prueba en Agda. De hecho, ocurre cuando intentas definir la interpretación de las relaciones lógicas de la cuantificación impredecible. Sin embargo, la interpretación de los conectivos no impredecibles (incluida la cuantificación "dependiente") es kosher en una teoría como Agda.

— cody
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¿Wow en serio? ¿No puede probar que el Sistema F se normaliza en Agda? ¿Tienes una cita para eso?

— Max New

@MaxNew: En realidad, es bastante difícil encontrar una cita. Lo más cercano que puedo encontrar es La fuerza de algunas teorías de tipo Martin-Löf que definitivamente resuelve la cuestión de una teoría predicativa con un solo universo y algún tipo de inducción. Pero Agda tiene la aterradora recursión de inducción que la hace mucho más poderosa.

— cody

Sin embargo, debo agregar que se sabe que la recursión por inducción es más débil que la cuantificación impredecible en ciertos casos, como se explica muy bien aquí: fplab.bitbucket.org/posts/2012-12-06-induction-recursion.html

— cody

@cody Desafortunadamente, el enlace ya no funciona. ¿Eres capaz de encontrar este contenido nuevamente? ¿Conoces nuevas publicaciones en el área de formalización de la impredicatividad?

— Łukasz Lew