¿Es decidible si la longitud de salida de un transductor está limitada por la longitud de entrada?

Los transductores considerados aquí son aquellos que Wikipedia llama transductores de estado finito . El comportamiento de un transductor , es decir, la relación que calcula, se escribe : una palabra es una salida para iff . $T$ $[T]$ $y$ $x$ $x[T]y$

Pregunta: ¿Se puede resolver el siguiente problema:

Dado: Un transductor y un lenguaje regular Decidir: ¿Sostiene que , una palabra, implica que? $T$ $L$
$\forall x \in L$ $\forall y$ $x[T]y$ $|y| \leq |x|$

Estoy buscando análisis no triviales / subcajas solucionables, reducción a problemas conocidos y / o referencias relacionadas. (en este momento ni siquiera estoy seguro de que sea decidible en general ...?)

Motivación: este problema se inspiró en el análisis / investigación sobre la demostración automatizada de teoremas de problemas teóricos de números en general y uno altamente estudiado, la conjetura de Collatz , en particular.

— vzn
fuente

ps (debería haber mencionado, como se sabe desde hace tiempo) Los transductores FSM son lo suficientemente potentes como para calcular iteraciones individuales de "descripciones instantáneas" de TM . por lo tanto, el problema parece estar relacionado con LBA y CSL .

— vzn

Porhablas del número de salidas en la entrada , ¿verdad? No es el tamaño de las salidas, en cuyo caso sería bastante sencillo.

| F (x) |

$|F(x)|$

x

$x$

— Michaël Cadilhac

x, F (x)

$x, F(x)$ son ambas palabras y

es la longitud de la palabra "salida". tengo algunas ideas pero no veo nada en este momento, de ahí la pregunta. su debido presumiblemente no trivial por ejemplo, para

entradas / salidas en algunas transiciones etc.

| F (x) |

$|F(x)|$

ϵ

$\epsilon$

— VZN

Así que implícitamente asumes que tu transductor es funcional; en cuanto a la notación, no estaba claro para mí :-) Entonces, ¿qué pasa con lo siguiente? Deje que

sea un transductor (posiblemente no determinista) y

sea un lenguaje regular dado. Modifique

en un transductor

para que compruebe si su entrada está en

, y todos sus estados son accesibles y corregibles. Entonces

para todo

si no hay un ciclo simple en el transductor

T

$T$

L

$L$

T

$T$

T^{'}

$T'$

L

$L$

| T (w) | \leq | w |

$|T(w)| \leq |w|$

w \in L

$w \in L$

T^{'}

$T'$ para el cual la entrada es más pequeña que la salida, y algunas propiedades fáciles adicionales en las transiciones que no aparecen en ningún SCC.

— Michaël Cadilhac

Okay. para "entrada es más pequeña que la salida" quieres decir durante el ciclo? Creo que vale la pena escribir esto como respuesta. había otra forma diferente de formular este / problema relacionado con criterios más estrictos que presumiblemente no es (tan) fácil, tal vez lo intente nuevamente ("parte 2 / secuela / seguimiento") si su respuesta parece correcta. Este problema actual es probablemente casi un caso especial del problema más amplio.

— vzn

El otro contribuyente eliminó su respuesta, tal vez para permitirme extender mi comentario anterior, así que aquí está.

Sea un transductor posiblemente no determinista, y sea un lenguaje regular. Modifique en un transductor que verifique que su entrada esté en (por ejemplo, cambiando el conjunto de estados en el producto cartesiano de los conjuntos de estados de y , y modificando la función de transición para que la parte de los estados se actualiza correctamente, conservando el comportamiento de ). $T$ $L$ $T$ $T'$ $L$ $T$ $L$ $L$ $T$

Una rama de es una secuencia tal que es una ruta simple de aceptación en , y cada es un componente fuertemente conectado de cuyos estados incluyen el destino de (y el origen de $T'$ $\rho_1 C_1\rho_2 C_2 \cdots \rho_n C_n \rho_{n+1}$ $\rho_1\rho_2 \cdots \rho_{n+1}$ $T'$ $C_i$ $T'$ $\rho_i$ ). La rama esmansasi: $\rho_{i+1}$

La longitud de entrada de la ruta es mayor o igual que su longitud de salida; $\rho_1\rho_2\cdots\rho_{n+1}$
Para cualquier , cualquier ciclo simple en , la longitud de entrada del ciclo es mayor o igual que su longitud de salida. $i$ $C_i$

Hecho: Para cualquier , implica si todas las ramas son mansas. $\big[$ $x, y$ $x[T']y$ $|y| \leq |x|$ $\big]$

La prueba es bastante inmediata. La última propiedad es decidible (ya que el número de ramas está limitado y el número de ciclos simples también), esto muestra que el problema de la pregunta es decidible.

— Michaël Cadilhac
fuente

Parece de la descripción que es incluso decidible en NL (por lo tanto, en P), suponiendo que

es dada por una FSA.

L

$L$

— Emil Jeřábek

Le envié un aviso (lo siento, no leí cuidadosamente su comentario antes de publicarlo), pero probablemente no lo recibió después de eliminar la respuesta :-) ... pero ahora, como reembolso de tiempo, debe cambiar a (¡y resuelva!) este más complicado: " Problema abierto : ¿existe

y una codificación computable

tal que, para todos

?" :-D :-D

n \geq 1

$n \geq 1$

S_{n}

$S_n$

k \geq 1

$k \geq 1$

L_{\leq n}^{S_{n}} = L_{\leq n + k}^{S_{n}}

$L^{S_n}_{\leq n} = L^{S_n}_{\leq n+k}$

— Marzio De Biasi

@ EmilJeřábek De hecho, está bastante claro en co-NL (por lo tanto, en NL).

— Michaël Cadilhac

@MarzioDeBiasi ¡Gracias! De hecho, no vi tu aviso ☺ Trabajaré para reembolsar tu tiempo cuando tenga algo ☺

— Michaël Cadilhac