¿La reducción más lenta de muchos?

Cuando queremos demostrar que un $L\in \bf NP$ es -Complete, entonces el enfoque estándar es exhibir un polinomio tiempo computable reducción de muchos uno de una conocida problema -Complete a . En este contexto, no necesitamos un límite estricto en el tiempo de ejecución de la reducción. Es suficiente tener un enlace polinómico, lo que permite que posiblemente tenga un grado muy alto. $\bf NP$ $\bf NP$ $L$

Sin embargo, para problemas naturales, el límite es típicamente un polinomio de bajo grado (definamos bajo como algo en un solo dígito). No pretendo que este sea siempre el caso, pero no conozco un contraejemplo.

Pregunta: ¿Hay un contraejemplo? Esa sería una reducción de muchos tiempos computable de polytime entre dos completos de naturales , de modo que no se conoce una reducción más rápida para el mismo caso, y el límite de tiempo de ejecución polinomial más conocido es un polinomio de alto grado . $NP$

Nota: ocasionalmente se necesitan exponentes grandes, o incluso enormes, para problemas naturales en , consulte Algoritmos de tiempo polinómico con exponente / constante enorme . Me pregunto si lo mismo ocurre también en las reducciones entre los problemas naturales. $P$

cc.complexity-theory reductions np-complete

— Andras Farago
fuente

Este documento es posiblemente relevante. La completitud de NP bajo reducciones muy limitadas (por ejemplo, AC0 o espacio de registro) es interesante, porque la mayoría de las reducciones están intuitivamente "basadas en dispositivos", lo que se debe al hecho de que la computación es un fenómeno local

— Joe Bebel

Por lo general, tratamos con reducciones que transforman una instancia de SAT (o un simple problema APN) a una instancia de

. Pero pensar de forma inversa

(es decir, en el mundo real, tratar de resolver un problema utilizando un solucionador SAT) conduce a reducciones de tiempo polinomiales con exponentes embarazosos :-). Por ejemplo, una clase bastante natural de problemas con los que estoy familiarizado surge de los juegos completos de PSPACE, cuando agregas algunas restricciones (tiempo, número de movimientos, visitas limitadas a ubicaciones, ...) que los hacen caer en NP, y luego trate de resolverlos con un solucionador SAT, es decir, encuentre una reducción eficiente a SAT.

L

$L$

L \leq_{p} S A T

$L \leq_p SAT$

— Marzio De Biasi

Recuerdo que teníamos una pregunta relacionada sobre los problemas naturales de NP que requerían grandes certificados (es decir, grandes límites inferiores de complejidad de prueba), pero no pude encontrarla.

— Kaveh

@Kaveh: uno es mío: " Problemas naturales completos de NP con testigos " grandes " " :-)

— Marzio De Biasi

Según los teoremas de jerarquía, hay problemas en NP con límites inferiores de tiempo no deterministas que son polinomios de grado arbitrariamente grande. Elija algún problema que requiera al menos

pasos no deterministas, para

. Supongamos que existe una reducción de muchos de este problema a SAT que usa como máximo

time. Entonces la instancia de SAT no puede ser mayor que

bits. Esto se puede decidir utilizando como máximo

pasos no deterministas. Por lo tanto,

n^{d}

$n^d$

d \geq 20

$d \ge 20$

n^{c}

$n^c$

n^{c}

$n^c$

n^{2 c}

$n^{2c}$

c \geq d / 2 \geq 10

$c \ge d/2 \ge 10$ . Si quiere que el problema también sea natural, entonces esencialmente está pidiendo problemas naturales que no estén en NTIME (

n^{d}

$n^d$ ).

— András Salamon

Allender sugiere que la respuesta es no:

Parece que no hay un par de problemas naturales completos de NP A y B conocidos, donde se sabe que una reducción de A a B requiere más que tiempo lineal (incluso bajo el supuesto de que P NP) $\ne$

Referencia:

E. Allender y M. Koucký, Amplificando los límites inferiores por medio de la auto-reducibilidad . Revista de la ACM 57, 3, artículo 14 (marzo de 2010).

— Mohammad Al-Turkistany
fuente

¿Podría proporcionar un enlace al documento donde Allender escribe esto, o una referencia?

— Andras Farago

@AndrasFarago Se proporciona el enlace. Haga clic en Allender :).

— Mohammad Al-Turkistany

Lo siento, me perdí el enlace. Después de examinar el documento, encontré otra declaración bastante interesante: "no se sabe que ningún problema natural de NP completo se encuentre fuera de NTIME (n)". (Está en la oración que precede inmediatamente a la parte citada.)

— Andras Farago

Sugiero una discreción moderada al interpretar estas declaraciones. Hay algunos casos en los que solo, por ejemplo, se conoce una reducción cuadrática. Por ejemplo, una reducción a una versión plana de un problema de NP completo puede usar un número cuadrático de dispositivos cruzados. Los límites inferiores son difíciles y muchas cosas "no se sabe que requieran".

— Joe Bebel

@JoeBebel Estoy de acuerdo en que se necesita discreción al interpretar estas declaraciones. Por ejemplo, en la afirmación de que "no se conoce ningún problema natural de NP completo fuera de NTIME (n)", los autores probablemente tenían en mente una interpretación más estrecha de "natural". Tal vez significan algo como esto: un problema natural es uno que la gente realmente quiere resolver sobre la base de una motivación práctica.

— Andras Farago