Algoritmo de multiplicación de vectores de matriz usando un número mínimo de adiciones

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Considere el siguiente problema:

Dada una matriz , queremos optimizar el número de adiciones en el algoritmo de multiplicación para calcular . $M$ $v \mapsto Mv$

Este problema me parece interesante debido a su relación con la complejidad de la multiplicación de matrices (este problema es una versión restringida de la multiplicación de matrices).

¿Qué se sabe sobre este problema?

¿Hay resultados interesantes que relacionen este problema con la complejidad del problema de multiplicación de matrices?

La respuesta al problema parece involucrar encontrar circuitos con solo puertas de adición. ¿Qué pasa si permitimos puertas de resta?

Estoy buscando reducciones entre este problema y otros problemas.

Motivado por

— vzn
fuente

Si

es una matriz

0-1, entonces los límites inferiores conocidos en el número de adiciones dependen de manera crucial de qué grupo / semigrupo trabajamos. Si trabajamos sobre el semigrupo

o incluso

, entonces el límite de Nechiporuk, junto con las construcciones conocidas, da un límite inferior explícito de aproximadamente

. Sin embargo, si estamos en el grupo

M

$M$

n \times n

$n\times n$

(N, +)

$(N,+)$

({0, 1}, \lor)

$(\{0,1\},\lor)$

n^{2 - o (1)}

$n^{2-o(1)}$

(G F (2), +)

$(GF(2),+)$ , entonces la situación es bastante deprimente: los límites inferiores más fuertes conocidos son solo de la forma

. Más se puede encontrar aquí .

ω (n)

$\omega(n)$

— Stasys

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Este es esencialmente el problema que motivó a Valiant a introducir la rigidez de la matriz en la complejidad (hasta donde yo entiendo la historia).

Un circuito lineal es un circuito algebraico cuyas únicas puertas son puertas de combinación lineal de dos entradas. Cada transformación lineal (matriz) puede calcularse mediante un circuito lineal de tamaño cuadrático, y la pregunta es cuándo se puede mejorar. Se sabe que para una matriz aleatoria no se puede mejorar significativamente.

Algunas matrices, como la matriz de transformación de Fourier, una matriz de bajo rango o una matriz dispersa, se pueden hacer significativamente mejor.

Una matriz suficientemente rígida no puede ser calculada por circuitos lineales que sean simultáneamente de tamaño lineal y profundidad logarítmica (Valiant), pero hasta el día de hoy no se conocen matrices explícitas para las cuales haya un límite inferior superlineal en el tamaño de los circuitos lineales.

No recuerdo haber visto resultados que digan que es difícil calcular el tamaño del circuito lineal más pequeño para una matriz dada, pero no me sorprendería si fuera NP-hard.

— Joshua Grochow
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Es NP-hard, ver cstheory.stackexchange.com/a/32272/225

— Ryan Williams

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$M$

$\Omega(n (\log n/\log \log n)^{d-1})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\Omega(n^{4/3})$ $M$ $n\times n$ $d$
$\tilde{\Omega}(n^{2-2/(d+1)})$ $M$ $n\times n$ $d$

Estos límites son esencialmente los mejores posibles. Ver Capítulo 6.3. en el libro de Chazelle .

— Sasho Nikolov
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