Dígrafo mínimo equivalente con respecto a las fuentes y sumideros

Dado un DAG (gráfico acíclico dirigido) , con fuentes de y se hunde . Encuentre un DAG , con fuentes y sumideros , con un número mínimo de aristas tales que: $D$ $S$ $T$ $D'$ $S$ $T$

Para todos los pares hay una ruta de a en si y solo si hay una ruta de a en . $u \in S, v \in T$ $u$ $v$ $D$ $u$ $v$ $D'$

Una aplicación de esto es representar una familia de conjuntos por un DAG. Para tal representación, cada fuente es una variable en el universo y cada sumidero es un conjunto en la familia de conjuntos, y un elemento u está en un conjunto S si y solo si hay una ruta desde el vértice que representa u al vértice que representa el conjunto S.

¿Es bien conocido este problema? ¿Existe un algoritmo polinómico para este problema?

graph-theory graph-algorithms

— Martin Vatshelle
fuente

Supongo que la solución debe ser un subgrafo del gráfico original, ¿verdad? En caso afirmativo, creo que este problema captura la cubierta del conjunto, a través de la reducción estándar que muestra que el árbol de Steiner dirigido es difícil: cree un vértice para cada elemento, un vértice para cada conjunto y un borde dirigido (S, u) si el conjunto S contiene el elemento u. Luego, agregue un nuevo vértice y bordes a todos los vértices establecidos. Hay una ruta desde este nuevo vértice a todos los sumideros (los vértices del elemento). Para preservarlos todos tenemos que seleccionar el número mínimo de vértices establecidos que cubre todos los elementos.

— Michael Lampis

No, en general diría que no debería ser un subgrafo del gráfico original. Las fuentes son elementos y necesita un elemento si y solo si algún conjunto contiene ese elemento. Los sumideros son conjuntos y no puede eliminar los conjuntos que se supone que representa, por lo que lo único que se puede hacer si se parte del gráfico ingenuo donde todos los nodos son sumideros o fuentes es agregar vértices y mover / eliminar bordes.

— Martin Vatshelle

D^{'}

$D'$

D^{'}

$D'$

D

$D$

D^{'}

$D'$

D

$D$

f : V_{D} \to V_{D^{'}}

$f:V_D \to V_{D'}$

D

$D$

D^{'}

$D'$

u

$u$

v

$v$

D

$D$

f (u)

$f(u)$

f (v)

$f(v)$

D^{'}

$D'$

Aclaré la pregunta, de hecho quiero decir que las fuentes y los sumideros son los mismos. Creo que la asignación es bastante parecida, la única forma en que uno podría asignar dos sumideros al mismo nodo es si son accesibles desde el mismo conjunto de fuentes, es decir, representa el mismo conjunto. La única forma en que dos fuentes podrían asignarse al mismo nodo es si alcanzan exactamente los mismos sumideros. Entonces, creo que después de un simple preprocesamiento de D, los problemas serían equivalentes.

— Martin Vatshelle

El dag D es realmente irrelevante para el problema, ¿no? También podría tomar un gráfico bipartito entre S y T como entrada.

— Emil Jeřábek

$D$

$D'$ $D$ $v$ $G$ $D$ $v$ $D'$ $v$ $D'$

$D'$ $G$ $D'$ $G$

Tenga en cuenta que, incluso si mi conjetura es válida, técnicamente este argumento no prueba la dureza NP de su problema, ya que la reducción no es una reducción de Karp, sino de Cook.

— Igel
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