Determinar qué se puede lograr mediante una permutación de elementos de un grupo no conmutativo

Fijar un grupo finito . Estoy interesado en el siguiente problema de decisión: la entrada son algunos elementos de G con un orden parcial sobre ellos, y la pregunta es si hay una permutación de los elementos que satisface el orden y es tal que la composición de los elementos en ese el orden produce el elemento neutral del grupo e .$G$$G$$e$

Formalmente, el problema de la prueba $G$ es el siguiente, donde se soluciona el grupo :$G$

• Entrada: un finito conjunto parcialmente ordenado con una función de etiquetado μ de P a G .$(P, <)$$\mu$$P$$G$
• Salida: si existe una extensión lineal de (es decir, un orden total ( P , < ′ ) tal que para todos x , y ∈ P , x < y implica x < ′ y ), tal que, escribir los elementos de P siguiendo el orden total < ′ como x 1 , ... , x n , tenemos μ ( x 1 ) ⋅ ⋯ ⋅ μ $P$$(P, <')$$x, y \in P$$x < y$$x <' y$$P$$<'$$x_1, \ldots, x_n$ .$\mu(x_1) \cdot \cdots \cdot \mu(x_n) = e$

Para cualquier grupo , el problema de la prueba G está claramente en NP. Mi pregunta es: ¿Existe un grupo G tal que el problema de la prueba G sea ​​NP-difícil?$G$$G$$G$$G$

Algunas observaciones sobre enunciados de problemas equivalentes:

• El lenguaje de posets y extensiones lineales puede ser reemplazado de manera equivalente por el de DAG y órdenes topológicas. Es decir, si lo prefiere, puede pensar en la entrada como un DAG con vértices etiquetados con elementos de grupo, y como la salida como preguntando si algún tipo topológico de la entrada DAG logra .$e$
• En cambio, se podría considerar un problema más difícil cuando se nos da un poset y , y preguntar si se puede realizar (en lugar de ). De hecho, el problema más fuerte se reduce a lo anterior: podemos preguntar si puede realizarse mediante , donde es pero con un elemento etiquetado que es más pequeño que todos los demás. De ahí la elección natural de en la definición anterior.$(P, <)$$g \in G$$g$$e$$e$$(P', <)$$P'$$P$$g^{-1}$$e$

Ahora, sobre mis intentos de resolver el problema:

• Por supuesto, si el grupo es conmutativo, el problema de la prueba está claramente en PTIME ya que todas las extensiones lineales alcanzan el mismo elemento de grupo, por lo que podemos elegir cualquiera de ellas por orden topológico y verificar si es o no. Entonces, el caso interesante es no conmutativo . En términos más generales, si tiene un homomorfismo con algún grupo conmutativo no trivial (por ejemplo, la firma , para permutaciones), una condición necesaria pero no suficiente es mirar el problema a través del homomorfismo y verificarlo en PTIME en la imagen conmutativa . No veo si esto puede generalizarse a un esquema de descomposición para todos los grupos finitos.$G$$G$$e$$G$$G$
• Si la relación de orden está vacía (es decir, se nos da un conjunto múltiple de elementos en y podemos usar cualquier permutación), el problema se puede resolver mediante programación dinámica, donde los estados son el número de ocurrencias de cada elemento en que todavía están no utilizado (recuerde que es fijo, por lo que el número de estados es polinómico en la entrada).$G$$G$$G$
• Para las entradas que son posets de ancho constante, podemos usar un algoritmo dinámico después de una descomposición en cadena. Entonces, si la dureza se mantiene, debe estar utilizando entradas posets que sean arbitrariamente anchas. Tenga en cuenta que para los posets anchos, el número de posibles "estados" en un enfoque de programación dinámica sería el número de alteraciones del poset, que en general es exponencial y no polinomial, por lo que ese enfoque no funciona directamente.
• El mismo problema podría estudiarse para los monoides en lugar de los grupos, pero para los monoides ya sé que es difícil, por un argumento bastante complicado que involucra el monoide de transición de un autómata y se reduce a una variante de una pregunta previa de teoría CS . La prueba completa de esto está en este preprint , apéndices D.1.3 y D.1.4, aunque la terminología es muy diferente. Por lo tanto, cuando la prueba es PTIME, tiene que usar la invertibilidad de los elementos del grupo.$G$
• Si preguntamos si todas las extensiones lineales se dan cuenta de (en lugar de si algunas lo hacen), entonces sé que el problema está en PTIME (vea el apéndice D.2 de la misma preimpresión), aunque también sé que este otro problema sería coNP- difícil para monoides en lugar de grupos (D.1.3 y D.1.4).$e$

Si -test es difícil para algunos , por supuesto, la pregunta natural es si alguna dicotomía lleva a cabo, y qué criterio se distinguiría tratable y no tratables . De hecho, esta pregunta puede formularse de manera más general cuando usamos autómatas finitos en lugar de grupos. (Formalmente: corrija un alfabeto finito y un autómata finito determinista finito (DFA) en , y considere el problema de la prueba , dado un poset etiquetado con elementos de , de verificar si alguna extensión lineal forma un palabra aceptada por$G$$G$$G$$G$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$$\Sigma$$A$ ) Por supuesto, no tengo idea sobre estas preguntas más difíciles.

$G$$G$

prueba

$f(x) = -x$$g_a(x) = x + a$

$G$$f$$g_a$

$G$$\{f \circ g_a | a \in \mathbb{Z} \} \cup \{g_a | a \in \mathbb{Z} \}$

$G$

$a_1, a_2, ..., a_n$

$P$$n+2$$f$$n$$g_{a_i}$$i = 1,..., n$

$g_p \circ g_q = g_{p+q}$$f \circ g_p \circ f = g_{-p}$$P$$g_{\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i}$$I$$g_{a_i}$$f$$g_0$$P$$\sum_{i \not\in I}a_i - \sum_{i \in I}a_i = 0$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$I$$\sum_{i \not\in I}a_i = \sum_{i \in I}a_i$

$G$$G$

Con mi coautor, acabamos de publicar una preimpresión que estudia este problema de manera más general para los idiomas normales. En el caso de grupos finitos, afirmamos que el problema es manejable (en NL) en el caso en que el orden parcial de los elementos consista en una unión de cadenas: ver Teorema 6.2. Conjeturaríamos que el problema para los DAG generales también está en NL, y hay alguna esperanza de extender la técnica a ese entorno, pero nos falta un ingrediente para esto, relacionado con esta pregunta ; para más detalles, consulte el preimpresión, Sección 6, párrafo "Limitaciones" al final, segunda limitación.