Hasta qué punto, la capacidad computacional para tareas difíciles ayuda a resolver tareas fáciles

En resumen, la pregunta es: en qué medida, la capacidad computacional para tareas difíciles realmente lo ayuda a resolver tareas fáciles. (Podría haber varias formas de hacer esta pregunta interesante y no trivial, y aquí hay uno de esos intentos).

Pregunta 1:

Considere un circuito para resolver SAT para una fórmula con n variables. (O para encontrar el ciclo hamiltoniano para un gráfico con aristas). $n$

Suponga que cada puerta permite el cálculo de una función booleana arbitraria en variables. Para concreción tomemos . $m$ $m=0.6 n$

La hipótesis del tiempo exponencial fuerte (SETH) afirma que incluso con puertas tan fuertes necesitamos un tamaño de circuito superpolinomial. De hecho, necesitamos un tamaño de al menos por cada En cierto sentido, las compuertas en la fracción de las variables que representan funciones booleanas muy complicadas (mucho más allá de la completitud NP) no le brindan mucha ventaja. $\Omega (2^{(0.4-\epsilon) n})$ $\epsilon.$

Además podemos preguntar:

(i) ¿Podemos tener dicho circuito de tamaño ? ? $2^{0.9 n}$ $2^{(1-\epsilon)n}$

Una respuesta "no" será un vasto fortalecimiento del SETH. Por supuesto, tal vez haya una respuesta fácil de "Sí", que simplemente echo de menos.

(ii) Si la respuesta a (i) es SÍ, las puertas que calculan funciones booleanas arbitrarias ofrecen algunas ventajas en comparación con las puertas que "simplemente" calculan (digamos) funciones NP arbitrarias; o simplemente instancias más pequeñas de SAT en sí?

La siguiente pregunta intentos para pedir algo similar para las preguntas en . $P$

Pregunta 2:

$m< n$ $m=0.6n$ $m$ $m=n^\alpha$

$m$

$m$ $m$

$m$ $m^d$ $d$

d) En un solo paso puede realizar puertas booleanas ordinarias.

$n$

(Esto puede estar relacionado con problemas bien conocidos sobre cómputo paralelo o sobre oráculos).

cc.complexity-theory dc.parallel-comp

— Gil Kalai
fuente

O ({1.9999}^{n})

$O(1.9999^n)$

c n

$cn$

c

$c$

Estimado Rayan, cierto, me siento más cómodo al considerar el caso no uniforme. Una respuesta negativa a la pregunta 1 será un gran fortalecimiento del SETH no uniforme. (Pensé que SETH no uniforme como un fortalecimiento de SETH, pero tal vez me equivoqué). Posiblemente pueda reformular las Preguntas 1 y 2 para algoritmos uniformes. En cualquier caso, tal vez con versiones tan fuertes de SETH y SETH no uniforme, será posible encontrar un contraejemplo.

— Gil Kalai

n

$n$

.1 n

$.1n$

2^{.9 n}

$2^{.9n}$

n

$n$

.9 n

$.9n$

.1 n

$.1n$

$2^{2^m \cdot s}$ $s$ $s=2^{n-m}$

— Boaz Barak
fuente

Hola, @Boaz Barak. ¿Le importaría si fusioné sus dos cuentas en este sitio?

— Lev Reyzin

Gracias Booz Supongo que el espíritu de la pregunta es esta: si vas muy por debajo de lo que se necesita para calcular todas las funciones, ¿puedes calcular una función completa de NP?

— Gil Kalai