Número limitado de ocurrencias variables en 1-en-3 SAT

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¿Existe un resultado conocido en la clase de complejidad 1-en-3-SAT con un número restringido de ocurrencias variables?

Se me ocurrió la siguiente reducción parsimoniosa con Peter Nightingale, pero quiero citar algo si esto se sabe.

Aquí está el truco que se nos ocurrió. Esto muestra que 1-en-3-SAT limitado a 3 ocurrencias por variable es NP completo y #P completo (ya que 1-en-3-SAT es) , mientras que 3-SAT limitado a 3 ocurrencias está en P

Digamos que tenemos más de tres ocurrencias de x. Digamos que necesitamos 6. Luego presentaremos 5 nuevas variables x2 a x6 equivalentes a x y dos nuevas variables d1 y d2 garantizadas como falsas con las siguientes 6 nuevas cláusulas:

x  -x2 d1
x2 -x3 d1
x3 -x4 d1
x4 -x5 d2
x5 -x6 d2
x6 -x  d2

Obviamente, reemplazamos cada aparición de x después de la primera por xi para algunos i. Eso da tres ocurrencias de cada xi y d.

Lo anterior establece cada di en falso y todos los xi en el mismo valor. Para ver esto, x tiene que ser verdadero o falso. Si es cierto, entonces la primera cláusula establece x2 verdadero y d1 falso, y luego esto se propaga por las clases. Si x es falso, la última cláusula establece x6 falso y d2 falso y propaga las cláusulas. Obviamente es muy parsimonioso, por lo que conserva el conteo.

reference-request sat reductions

— Ian Gent
fuente

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Hasta donde yo sé, los "límites" actuales se han establecido en:

Stefan Porschen, Tatjana Schmidt, Ewald Speckenmeyer, Andreas Wotzlaw: XSAT y NAE-SAT de clases lineales de CNF. Matemática Aplicada Discreta 167: 1-14 (2014)

Ver también la Tesis de Schmidt: Complejidad computacional de SAT, XSAT y NAE-SAT para fórmulas lineales y mixtas de Horn CNF

$k$ $CNF^l_+$ $k$ $CNF^l$ $k, l \geq 3$

$3$ $CNF^3$ $l=3$

$CNF_+$

— Marzio De Biasi
fuente

C N F_{+}

$CNF_+$

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(Entiendo que esto debe ser una respuesta tardía; estoy escribiendo para futuros lectores)

Hay un resultado cada vez más fuerte en la literatura.

La satisfacción 1-en-3 positiva plana cúbica se demuestra NP-completa en Moore y Robson, Hard Tiling Problems with Simple Tiles . (Dicen 'monótono' en lugar de 'positivo'. Ver nota agregada al final)

El resultado mencionado es más fuerte que el resultado de la tesis de Schmidt porque aquí el gráfico de la fórmula está restringido a ser plano. (De hecho, la condición es más fuerte: dan un tipo particular de inclusión llamada inclusión rectilínea)

$G_B$ $B=(X,C)$ $X\cup C$ $E:= \{ x_iC_j\ :\$ $x_i$ $C_j$ $\}$ $X$ $C$

$B=(X,C)$ $X$ $C$ $X$ $G_B$ $B$
$X$ $C$

Tenga en cuenta que cada cláusula contiene exactamente 3 variables distintas y cada variable aparece en exactamente 3 cláusulas.

Consulte la tesis de Tippenhauer sobre Planar 3-SAT y sus variantes (2016) para ver las variantes sat que restringen el número de ocurrencias variables.
Nota: hay algunas variantes descubiertas después de la publicación de esta tesis.

Nota agregada: El resultado de Moore y Robson demostró que la Satisfacción 1-en-3 positiva plana cúbica es NP-completa. (Es decir, la fórmula booleana no es solo monótona, es Positiva (es decir, no tiene literales negados)). Desafortunadamente, en muchos trabajos iniciales, el término "monótono" se usaba para significar "positivo". La reducción de Moore y Robson no introduce literales negados. Su reducción es de planar 'monótono' 1-en-3 satisfacibilidad en el documento de Laroche planar satisfacibilidad 1-en-3 es NP-completo . No pude obtener este documento, pero muy probablemente Laroche también quiso decir positivo al decir 'monótono'. Incluso si no quiso decir esto, podemos usar la Satisfacción Planar Positiva 1 en 3 de Mulzer y Rote ' como el problema fuente en su lugar.

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— Antonio cirio
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