Número de automorfismos de un gráfico para isomorfismo gráfico

Supongamos que y son dos gráficos conectados regulares de tamaño . Deje el conjunto de permutaciones tal que . Si entonces es el conjunto de automorfismos de . $G$ $H$ $r$ $n$ $A$ $P$ $PGP^{-1}=H$ $G=H$ $A$ $G$

¿Cuál es el límite superior más conocido en el tamaño de $A$ ?
¿Hay algún resultado para clases de gráficos particulares (que no contengan gráficos completos / de ciclo)?

Nota: Construir el grupo de automorfismo es al menos tan difícil (en términos de su complejidad computacional) como resolver el problema del isomorfismo gráfico. De hecho, solo contar los automorfismos es un tiempo polinomial equivalente al isomorfismo de grafos, cf. R. Mathon, "Una nota sobre el problema de conteo de isomorfismos de grafos".

— Jim
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Wormald ha demostrado que si es un gráfico conectado regular con 2n vértices, entonces el número de automorfismos de divide . En particular, esto proporciona un límite superior exponencial no trivial para el caso regular. Tal vez hay resultados en esta línea para gráficos regulares generales . $G$ $3$ $G$ $3n\cdot 2^n$ $3$ $k$

Para un límite inferior, considere la fórmula con entradas cuyas puertas son suma puertas de fan-in 2. Luego, utilizando un resultado de Toran, se puede construir un gráfico regular con vértices cuyo grupo automorphism codifica todas las posibles evaluaciones de . Esto implica que el número de automorfismos de es al menos . Esto muestra que existe un límite inferior exponencial para el número de automorfismos de los gráficos regulares en función de su número de vértices. $F$ $n$ $\mod k$ $k$ $G(F)$ $O(k^2\cdot n)$ $F$ $G(F)$ $k^n$ $k$

— Mateus de Oliveira Oliveira
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Considere el siguiente gráfico, 1. el gráfico regular y el gráfico regular (ninguno de ellos está completo o el gráfico de ciclo) se unen entre sí a través de E número de bordes, digamos que este gráfico unido es un gráfico irregular 2. cada vértice de gráfico regular tiene aristas con el gráfico regular . No hay dos vértices del gráfico regular , que tengan el mismo número de aristas con el gráfico regular . ¿Puede el automorfismo de G ser exponencial?

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

G

$G$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

r_{1}

$r_1$

r_{2}

$r_2$

— Jim

si. El gráfico G2 puede tener un número exponencial de automorfismos. Sea H1 cualquier gráfico regular r1 con n vértices, numerados 1 ... n. Sea H2 un gráfico que se obtiene mediante el siguiente proceso (dividido en 3 comentarios). Sea D el gráfico de diamante, es decir, un ciclo de 4 junto con un borde que conecta dos vértices previamente no adyacentes. Digamos que estos dos vértices son los vértices internos de D. Los otros dos vértices son los vértices externos de D. Claramente, hay un automorpismo que intercambia ambos vértices internos y deja intactos los vértices externos.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Ahora, considere la unión disjunta de dos ciclos C1 y C2 con n (n + 1) / 2 vértices numerados del 1 al n (n + 1) / 2. Considere también n (n + 1) / 2 copias del gráfico diamod. Ahora para cada i, conecte una de las vértices externas de D_i al i-ésimo vértice de C1 y el otro vértice externo al i-ésimo vértice de C2. Entonces el gráfico H2 obtenido por este proceso es 3-regular, y tiene un número exponencial de automorpismos, ya que los vértices internos de cada D_i pueden intercambiarse por separado.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Ahora para cada vértice v_j de H1 agregamos 2j aristas desde v_j a los vértices internos de los diamantes de tal manera que ambos vértices internos de un diamante D_i se conectan al mismo vértice en H1. Esto garantiza que los vértices internos del diamante aún puedan intercambiarse y, por lo tanto, el número total de automorfismos en el gráfico G2 es exponencial.

— Mateus de Oliveira Oliveira

Es fácil mostrar que una gráfica conectada de orden de valencia máxima tiene un grupo de orden de automorfismo como máximo . Encuentre un orden de los vértices de tal manera que, comenzando con el segundo, cada vértice esté adyacente al menos a un vértice anterior. Deje el subgrupo que se fijan los primeros vértices. Esta es una cadena descendente de subgrupos, con y . Sigue el teorema del estabilizador de órbita que , y para .

n

$n$

k

$k$

n k (k - 1)^{n - 2}

$nk(k-1)^{n-2}$

G_{i}

$G_i$

i

$i$

| G : G_{1} | \leq n

$|G:G_1|\leq n$

G_{n} = 1

$G_n=1$

| G_{1} : G_{2} | \leq k

$|G_1:G_2|\leq k$

| G_{i} : G_{i + 1} | \leq k - 1

$|G_i:G_{i+1}|\leq k-1$

i \in {2, \dots, n - 1}

$i\in\{2,\ldots,n-1\}$

— verret

Si permite que los gráficos se desconecten, entonces no hay límites superiores buenos con respecto al número de vértices.

Para los gráficos regulares, tome la unión disjunta de gráficos completos . ¡Entonces el gráfico tiene vértices, yautomorfismos $r$ $l$ $K_{r+1}$ $(r+1)\cdot l$ $(r+1)!\cdot l!$

— tori
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