¿Puede una clase gráfica hereditaria contener casi todos, pero no todos, los gráficos de n-vértices?

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Sea una clase hereditaria de gráficos. (Hereditaria = cerrado con respecto a tomar subgrafos inducidos.) Let denotar el conjunto de gráficos -vertex en . Digamos que contiene casi todos los gráficos, si la fracción de todos los gráficos de -vértices que caen en aproxima a 1, como . $Q$ $Q_n$ $n$ $Q$ $Q$ $n$ $Q_n$ $n\rightarrow\infty$

Pregunta: ¿Es posible que una clase de gráfico hereditario contenga casi todos los gráficos, pero por cada hay al menos un gráfico que no está en ? $Q$ $n$ $Q_n$

graph-theory

— Andras Farago
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La respuesta no es - por un fijo dejó que es el número de vértices en el más pequeño gráfico no en . Ahora, considere mucho más grande que . Para un gráfico aleatorio en vértices, la probabilidad de que las primeros vértices inducen depende sólo de . Particionar el conjunto de vértices en conjuntos disjuntos de tamaño y considerar la probabilidad de que ninguno de los conjuntos sea igual a muestra que la probabilidad de estar en tiende a como $Q$ $t$ $H$ $Q$ $n$ $t$ $n$ $t$ $H$ $t$ $n/t$ $t$ $H$ $Q$ $0$ aumenta. $n$

— daniello
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Esto demuestra con más fuerza que cualquier clase hereditaria no trivial contiene una fracción de todos los gráficos que se reduce como

. Al dividir

en muchas

'de punta disjunta y usar el mismo argumento, debería ser posible fortalecer esto en algo más como

.

\exp - c n

$\exp -cn$

K_{n}

$K_n$

K_{t}

$K_t$

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

— David Eppstein

@Andras Farago: también se puede deducir directamente una respuesta negativa de los resultados conocidos de la conjetura de Erdos-Hajnal [ en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Hajnal_conjecture] . El límite obtenido no es tan bueno (parece que solo obtienes una fracción de

.

\exp (- \exp (c \sqrt{\log n}))

$\exp(-\exp(c \sqrt{\log n}))$

— Louis Esperet

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@David Eppstein: Creo que

es precisamente lo que obtienes al aplicar recursivamente (

veces) el siguiente resultado clásico. Si hay un plano proyectivo de orden

entonces el conjunto de bordes de

puede dividirse en

copias de

separadas por bordes .

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\log \log n

$\log \log n$

q

$q$

K_{q^{2}}

$K_{q^2}$

q (q + 1)

$q(q+1)$

K_{q}

$K_q$

— Louis Esperet

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Para agregar a la respuesta de Daniel, la densidad precisa de las clases hereditarias ha sido ampliamente investigada en combinatoria. Para una clase de estructuras, el corte no marcado es el conjunto de clases de estructuras de isomorfismo en que tienen vértices. La velocidad (no marcada) de una clase de estructuras es . Denotar la clase de gráficos por . La pregunta es si $C$ $C_n$ $C$ $n$ $C$ $|C_n|$ $G$ $\lim_{n\to \infty} |Q_n|/|G_n| = 1$ para cualquier clase hereditaria de gráficos . $Q$

Como el límite es siempre 0 para hereditario , una pregunta fundamental es cómo funciona la función se comporta Sea el número de particiones enteras , donde $Q$ $|Q_n|$ $p(n)$ . Resulta que la velocidad no marcada "salta": o bienestá polinomialmente delimitado, o de lo contrario. $p(n) = 2^{\Theta(\sqrt{n})}$ $|Q_n|$ $|Q_n| = \Omega(p(n))$

József Balogh, Béla Bollobás, Michael Saks y Vera T. Sós, La velocidad no marcada de una propiedad gráfica hereditaria , Journal of Combinatorial Theory, Serie B, 99 9-19, 2009. doi: 10.1016 / j.jctb.2008.03.004 ( preimpresión )

— András Salamon
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