¿El SAT 1 en 3 permanece NP-duro incluso si todas las variables ocurren tanto positiva como negativamente?

El problema estándar 1-en-3 SAT (o XSAT o X3SAT) es:
Instancia : una fórmula CNF con cada cláusula que contiene exactamente 3 literales
Pregunta : ¿existe una asignación satisfactoria que establezca exactamente 1 literal por cláusula verdadera?

El problema es NP-completo y sigue siendo difícil incluso si no se produce una variable negada. Me pregunto si este problema se vuelve fácil o difícil si se requiere que cada variable ocurra al menos una vez de manera positiva y al menos una vez de manera negativa .

La reducción habitual de 3SAT que muestra que 1-en-3 SAT es difícil reemplaza una cláusula por cláusulas , , donde son frescas para cada cláusula. Por lo tanto, esta reducción no ayuda a responder mi pregunta. He tenido problemas para encontrar un dispositivo que muestre la dureza de esta variante, ya que si exactamente 1 literal en una cláusula es verdadero, entonces los 2 literales no simétricos son falsos. Si resulta fácil, pensar en términos de particiones del conjunto de cláusulas podría hacerlo, pero no puedo ver cómo. $(x\lor y \lor z)$ $(\lnot x \lor a \lor b)$ $(y\lor b\lor c)$ $(\lnot z \lor c \lor d)$ $a,b,c,d$

cc.complexity-theory np-hardness sat

— Dominik Peters
fuente

¿Se puede reducir a 2 sat?

— Joshua Herman

pista: para cada var , agregue cláusulas y, diga, .

X_{i}

$X_i$

(X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor W) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Y) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Z)

$(X_i\vee \overline X_i \vee W) \wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Y)\wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Z)$

(W \lor Y \lor \bar{Z})

$(W \vee Y \vee \overline Z)$

— Neal Young

Ja, eso funciona (por supuesto, agregando también ). Dejaré la pregunta abierta en caso de que alguien pueda resolverlo sin el truco .

(\bar{W} \lor Y \lor Z) \land (W \lor \bar{Y} \lor Z)

$(\overline W \lor Y\lor Z)\land(W\lor\overline Y \lor Z)$

X_{i} \lor {\bar{X}}_{i}

$X_i\lor\overline X_i$

— Dominik Peters

¿Puedo animarlo a escribir una respuesta completa a su propia pregunta, tal vez basada en la idea de Neal young? (Por cierto, no estoy seguro de por qué eso es "insatisfactorio". Una reducción es una reducción).

— DW

Si ese caso especial es el que realmente le importa, ¿entonces quizás tenga sentido editar su pregunta para reflejar esa restricción adicional?

— DW

En un comentario, OP expresó interés en una reducción que generó instancias con 3 variables distintas por cláusula. Aquí hay un enfoque simple:

La reducción es de 1 en 3 SAT con 3 variables distintas por cláusula:

En primer lugar, incluya todas las cláusulas en la fórmula de entrada como cláusulas en la fórmula de salida.
En segundo lugar, introduzca tres nuevas variables , y y agregue las siguientes tres cláusulas a la fórmula de salida: , y . $F_1$ $F_2$ $F_3$ $(\neg F_1, F_2, F_3)$ $(F_1, \neg F_2, F_3)$ $(F_1, F_2, \neg F_3)$
Finalmente, para cada variable en la fórmula original, introduzca una nueva variable y agregue las siguientes dos cláusulas a la fórmula de salida: y . $x$ $x'$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$

Verifiquemos que esta reducción haga lo que queremos. Las siguientes propiedades son lo que queremos:

Cada cláusula siempre tiene tres variables distintas.
Cada variable ocurre en alguna cláusula positivamente y en alguna cláusula negativamente.
La fórmula de entrada es equivalente a la fórmula de salida.

La propiedad 1 es trivial para verificar. La propiedad 2 también es fácil de verificar: las variables , y presentan de manera positiva y negativa en las cláusulas agregadas en el segundo punto, mientras que todas las demás variables en la fórmula se presentan de manera positiva y negativa en las cláusulas agregadas en Tercera viñeta. $F_1$ $F_2$ $F_3$

En cuanto a la propiedad 3, esto es menos trivial pero aún así fácil. Puede argumentar fácilmente que la única asignación para las variables , y que satisface cada cláusula desde el segundo punto es hacer que las tres falsas. Pero luego, suponiendo un valor de falso para , las cláusulas y agregadas en el tercer punto se satisfacen si y solo si . Como no hay otras restricciones en , esto significa que siempre es posible extender una asignación satisfactoria para la fórmula de entrada en una asignación satisfactoria para la fórmula de salida: simplemente configure cada $F_1$ $F_2$ $F_3$ $F_i$ $F_1$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$ $x' = \neg x$ $x'$ $x'$ será la negación de la correspondiente y establecerá cada en falso. $x$ $F_i$

— Mikhail Rudoy
fuente