Circuito computarizado complejidad de problemas de decisión

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¿Alguien ha explorado cuál es la complejidad del circuito de los problemas de decisión clásicos como Primes o Graph-Isomorphism para un tamaño de entrada pequeño ? $N$

Si bien la mayoría de la gente está interesada en cómo va la escala según , creo que también sería interesante ver cómo crece esto para el pequeño N. Seguro, ahora sabemos que Primes está en P, pero sería bueno vea cómo crece, y tal vez incluso cambios bruscos en la tasa de crecimiento del gráfico a medida que las entradas se hacen lo suficientemente grandes como para que un algoritmo diferente se vuelva más eficiente. $N \to \infty$

Incluso existe la posibilidad (improbable) de que alguien pueda extraer de una secuencia de circuitos un algoritmo general.

Parece que este enfoque podría responder preguntas diferentes de las que generalmente se hacen sobre . Con los avances del conocimiento de los algoritmos (solucionadores SAT, etc.) y la super potencia informática, se podrían obtener respuestas concretas para pequeño . $N \to \infty$ $N$

¿Hay referencias o listas de resultados para personas que calculan explícitamente la complejidad del circuito de problemas de decisión para pequeñas ? $N$

Si hay personas trabajando en esto, ¿qué algoritmos usan actualmente para resolver el problema del circuito mínimo (dada una función booleana y un conjunto de compuertas, emite un circuito utilizando el número mínimo de compuertas necesario)?

cc.complexity-theory reference-request circuit-complexity

— TigerSpots
fuente

parece ser casi imposible atacar desde esta dirección debido a que ni siquiera es capaz de calcular circuitos óptimos para problemas muy "pequeños". Esto parece ser básicamente el resultado de la complejidad de Kolmogorov. otra dirección aparentemente prometedora / equivalente, no muy conocida o muy estudiada, es a través de la complejidad del gráfico que parece permitir el estudio de problemas "más pequeños" pero aún con implicaciones importantes, por ejemplo, en separaciones de clases de complejidad ... también conocido como "lema de aumento" etc

— vzn

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Sí, esta es una idea natural y la gente lo ha pensado. En resumen, el problema es que incluso los solucionadores SAT / QBF de última generación permiten encontrar solo circuitos muy pequeños (con aproximadamente 10–12 puertas), por no decir que demuestran que no hay un circuito pequeño. Algunas referencias:

Ryan Williams, Aplicando la práctica a la teoría (2008):

Nuestro conocimiento de la complejidad del circuito booleano es bastante pobre. <...> Una buena razón por la que no sabemos mucho sobre la verdadera potencia de los circuitos es que no tenemos muchos ejemplos de circuitos mínimos. No sabemos, por ejemplo, cómo es un circuito óptimo para la multiplicación de matriz booleana . $3 \times 3$

Una buena razón por la que no sabemos mucho acerca de la verdadera potencia de los circuitos es que no tenemos muchos ejemplos de circuitos mínimos. No sabemos, por ejemplo, cómo es un circuito óptimo para la multiplicación de matriz booleana . <…> ¿Podríamos beneficiarnos de una Enciclopedia de Circuitos Mínimos? Por ejemplo, ¿qué hacen los circuitos booleanos más pequeños para $3 \times 3$ $10 \times 10$ ¿Cómo se ve la multiplicación de matriz booleana? ¿Son regulares en estructura? Es probable que las respuestas brinden información valiosa sobre la complejidad del problema. Los mejores algoritmos que conocemos reducen el problema a la multiplicación de matrices sobre un anillo, que luego se resuelve mediante una construcción recursiva muy regular (como la de Strassen [Str69]). Incluso si los circuitos catalogados no son realmente mínimos, sino cercanos a eso, los ejemplos concretos de pequeñas entradas podrían ser útiles para que los teóricos busquen inspiración, o tal vez para que las computadoras extraigan patrones a través de técnicas de aprendizaje automático. El poder de los pequeños ejemplos no puede subestimarse.

Los experimentos con solucionadores QBF aún no han revelado una nueva visión significativa. Hasta ahora, han descubierto un hecho: el circuito de tamaño óptimo para la multiplicación de matriz booleana es el obvio. Bueno duh. ¿Qué pasa con el caso ? ¡Esto ya es difícil! El solucionador sKizzo QBF [Ben05] puede demostrar que no hay circuito para que tenga 10 puertas, pero nada más allá de eso. Incluso cuando restringimos las puertas para que tengan dos fan-in, el solucionador se bloquea en instancias más grandes. $2 \times 2$ $3 \times 3$ $3 \times 3$

Junto con Evgeny Demenkov, Arist Kojevnikov y Grigory Yaroslavtsev, logramos utilizar SAT-solucionadores para mejorar los límites superiores en el tamaño del circuito de las funciones simétricas. Se pueden encontrar detalles en los siguientes dos documentos: Encontrar circuitos eficientes utilizando solucionadores SAT (2009), Nuevos límites superiores sobre la complejidad del circuito booleano de funciones simétricas (2010). Aún así, no conocemos la complejidad exacta del circuito para muchas funciones elementales: por ejemplo, , .

2.5 n \leq C (M O D_{3}) \leq 3 n

$2.5n \le C(MOD_3) \le 3n$

2 n \leq C (A N D, O R, X O R) \leq 2.5 n

$2n \le C(AND,OR,XOR) \le 2.5n$

Los ejercicios 477–481 en la Sección 7.2.2.2: Satisfacción del Volumen 4 de TAOCP por Don Knuth (2015) discuten formas de encontrar circuitos óptimos con la ayuda de solucionadores SAT. De la solución al ejercicio 481:

Es cierto para . Aquí hay un cálculo de 12 pasos cuando y , encontrado en 2014 por Armin Biere: <…> El caso y , que se encuentra tentadoramente cerca de los límites de los solucionadores de hoy, aún se desconoce . $n \le 5$ $n=6$ $a=0$ $n=6$ $a \neq 0$

— Alexander S. Kulikov
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En muchos modelos no uniformes (circuitos booleanos, circuitos algebraicos, árboles de decisión, programas de ramificación, etc.), calcular la complejidad exacta parece ser significativamente más difícil que calcular la complejidad asintótica. Si bien mantengo la esperanza de que su intuición sea correcta, que la comprensión de la complejidad exacta de las instancias pequeñas pueda conducir a ideas asintóticas, solo conozco algunos casos en los que esto ha sucedido:

Algoritmos y límites inferiores para la multiplicación matricial de pequeños formatos. Ha habido una buena cantidad de trabajo en 2x2 ( Strassen ), 3x3 ( Laderman ) y otros formatos pequeños para la multiplicación de matrices (ver también Johnson-McLoughlin y Hopcroft-Kerr ). Originalmente, estos a menudo se podían usar para dar mejoras asintóticas, debido a la estructura recursiva de la multiplicación de matrices. Finalmente, Coppersmith-Winograd suplantó todo esto en el reino asintótico.
Los límites inferiores de estilo GCT en la multiplicación de matrices pequeñas debido a Bürgisser e Ikenmeyer han producido límites inferiores asintóticos en la multiplicación de matrices. Creo que esto es al menos parcialmente porque la estructura teórica de la representación sugiere naturalmente cómo convertir un límite inferior único y exacto en una familia infinita.
(Ver la respuesta de Alexander Kulikov para un par más)

Aparte de estos, ha habido una cantidad pequeña pero no trivial de trabajo sobre la complejidad exacta de varios problemas, pero en su mayoría problemas más fáciles que GraphIso o Primes (excepto el último ejemplo de lo permanente). Si bien considero que este trabajo es interesante y mantengo la esperanza de que conducirá a una comprensión teórica más amplia, que yo sepa, aún no lo ha hecho.

Knuth consideró la cuestión del número exacto de comparaciones necesarias para ordenar una lista de elementos en el Capítulo 5, vol. 3 de TAOCP . Se han realizado más progresos desde entonces (ver el trabajo de Peczarski , y referencias al respecto). $n$
También se ha trabajado en redes de clasificación de profundidad mínima exacta ( Bundala y Závodný parecen ser las últimas).
Con una complejidad exacta, puede haber efectos teóricos numéricos debido al tamaño de la entrada. (Cuando se trata de un algoritmo de divide y vencerás, por ejemplo, es fácil imaginar cómo las entradas de tamaño pueden diferir de las entradas de tamaño impar cuando se trata de la complejidad exacta). Ver Drmota y Szpankowski para ejemplos de esto , así como un teorema maestro exacto. $2^k$
Complejidad determinante de pequeños permanentes (límite superior por B. Grenet y límite inferior reciente en por Alper, Bogart y Velasco ) y otras funciones ( Qiao, Sun y Yu ). $per_3$

— Joshua Grochow
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